( 2017年高考“最后三十天”专题透析 ) ( 练习 5 ×× 双曲线 ) ( 知识梳理 ) ( 寒假集训 （45分钟） ) ( 经典集训 ) 1．已知双曲线的焦点为，，双曲线上一点满足，则双曲线的标准方程是( ) A. B. C. D. 2.根据下列条件，分别求双曲线的标准方程. (1)经过点，； (2)，经过点，焦点在轴上. 3.已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为( ) A. B. C. D. 4.已知双曲线的方程为. 试问：双曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 5.(多选题)双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程可以为( ) A. B. C. D. 6.若，则“”是“方程表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若双曲线与直线相交于两个不同的点，则实数的取值范围为_____. 8.(多选题)双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程可以为( ) A. B. C. D. 9.如图，已知是双曲线的两个焦点.若是双曲线左支上的点，且，试求的面积. 10.已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是( ) A. B. C. D. ( 巩固集训 ) 1.设分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于两点，且在双曲线的右支上存在点，使.求的值及点的坐标. 2.已知直线与双曲线. (1)若，求与相交所得的弦长； (2)若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围. 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率为_____. 4.双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是（ ） A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为 C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．若，则的面积为 5.双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点． 6.已知双曲线的离心率为，点在上，为的右焦点. （1）求双曲线的方程； （2）设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：. ( 参考答案 ) ( 经典集训 ) 1． 【答案】B 【解析】由题知，故，所以双曲线的标准方程为. 2． 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1)法一 若焦点在轴上，则设双曲线的方程为， 由于点和在双曲线上， 所以解得 (舍去). 若焦点在轴上，则设双曲线的方程为， 将两点坐标代入可得解得 所以双曲线的标准方程为. 综上，双曲线的标准方程为. 法二 设双曲线方程为， ∵两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为. (2)法一 依题意可设双曲线方程为. 则有解得 ∴所求双曲线的标准方程为. 法二 ∵焦点在轴上，， ∴设所求双曲线方程为(其中). ∵双曲线经过点， ∴，∴或(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是. 3． 【答案】D 【解析】法一 由离心率，得，又，得，所以双曲线a的渐近线方程为.由点到直线的距离公式，得点到的渐近线的距离为.故选D. 法二 离心率的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是，由点到直线的距离公式得点到的渐近线的距离为，故选D. 4． 【答案】不存在 【解析】法一 设被点所平分的弦所在的直线方程为，代入双曲线方程 ，得， ∴， 解得.设弦的两端点为，则. ∵点是弦的中点，∴，∴. 故双曲线上不存在被点所平分的弦. 法二 设双曲线上存在被点平分的弦，且点， 则，且 由①-②得， ∴，∴直线的方程为，即a 由消去，得. 又，∴直线与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点平分的弦. 5． 【答案】A、B 【解析】由题知，设双曲线的方程为， ∴，∴或， ∴或.故选AB. ... ...
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