【第三课】5.7三角函数的应用 扩展1: 三角函数模型的拟合问题 例3 当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表． （月份） 1 2 3 4 5 6 17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 （月份） 7 8 9 10 11 12 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8 （1）根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温做一个函数模型； （2）当平均气温不低于时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间． 【解】（1）以月份为横坐标，月平均气温为纵坐标作出散点图，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线． 由于月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，可以考虑用来模拟． 由最高气温为，最低气温为，得．显然，故．又当时，取最大值，∴．∴为惠灵顿市的月平均气温函数模型． （2）作直线与函数图象交于两点，，这说明在每年的11月初至第二年的4月末平均气温不低于，是惠灵顿市的最佳旅游时间． 【方法总结】给出一些数据确定函数模型的关键是画出较为准确的散点图，再根据散点图中各个点的分布情况确定拟合函数．若数据呈现周期性，则选用三角函数模型，，等． 【举一反三1-1】[重庆巴蜀中学校2022高一期末] 1．潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同． 下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据： 时间（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 水深（米） 13.4 14 13.4 12 10 8 6.6 6 6.6 8 10 12 13 （1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，（，，），（，，）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式； （2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：，） 扩展2:与最值有关的问题 例2. （2023上·全国·高一专题练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，当时，两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时，时间t的值是 ． 【答案】10 【分析】设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，求出座舱转动的角速度，计算，，相减得到高度差，计算最值得到答案． 【详解】设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，如图所示： 设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为， 由题意得． 甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则， 经过后甲距离地面的高度为， 点B相对于点A始终落后， 此时乙距离地面的高度为． 则甲、乙距离地面的高度差 ， ＝. 因为，所以， 所以两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大 ... ...
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