【2024年人教版八年级下册数学同步讲练】18.1.1 平行四边形的性质（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 一、平行四边形概念 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形记作“”. 如下图，四边形中AB//CD，AD//CD，则四边形是平行四边形. 二、平行四边形的性质 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴，，， 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴， 三、两条平行线之间的距离 1、两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2、性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. 【题型一】利用平行四边形的性质求边长 【例1.1】如图， ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 解：∵ ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2， 设AD为3x，AB为2x，可得：3x+2x＝15， 解得：x＝3， ∴BC＝AD＝9， 故选：A． 【例1.2】在中，和的平分线交于边上的一点E，且，，则的长为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于边上的一点E， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【例1.3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为 　 　． 解： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝， ∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝2， ∵CE2+DE2＝22+12＝5，CD2＝()2＝5，∴CE2+DE2＝CD2， ∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴， 故答案为：2． 【例1.4】如图，在中，对角线与相交于点O，已知，，．求和的长． 解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即，． 【题型二】利用平行四边形的性质求角 【例2.1】在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝(　　) A．36° B．108° C．72° D．60° 解：在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：2：3， 设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x＝360°，解得x＝36°， 则∠D＝108°． 故选：B． 【例2.2】已知 ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．140° 解： 在 ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝140°，∴∠A＝∠C＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠A＝110°． 故选：B． 【例2.3】如图，在平行四边形中，平分且交于点E，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 解：∵平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【题型三】利用平行四边形的性质求周长 【例3.1】如图，在中，，的周长为19，则的周长为（ ） A．38 B．18 C．20 D．40 解：∵，的周长为19，即 ， ∵四边形是平行四边形， ，， 的周长 故选：C． 【例3.2】如图，点为的对角线的中点，过点与边、分别相交于点、，若，，，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 故四边形的周长为． 故选：C． 【例3.3】如图，在平行四边形中，对角线、交于，交于，连接． (1)若的周长为，求平行四边形的周长； (2)若，平分，试求的度数． 解：（1）解：四边形是平行四边形， ． ， ． 故的周长为， 根据平行四边形的对边相等得， 平行四边形的周长为． （2）， ， ，平分， ， ， ， ， ． 【题型四】利用平行四边形的性质求面积 【例4.1】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，则四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为直 ... ...