3.2.1 双曲线及其标准方程【第一课】 [课标要求] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. [明确任务] 1.双曲线的定义及标准方程. （数学建模、数学运算） 2.双曲线标准方程的推导. （逻辑推理、数据分析） 1.椭圆的定义、曲线与方程 2.两点间的距离公式、方程的化简 核心知识点1 双曲线的定义及其应用 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 提示： （1）如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. （2）双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|. ①若定义中的常数等于|F1F2|，此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点）. ②若定义中的常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在. ③若定义中的常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 例1.（1）已知A（0，－5），B（0，5），|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，则P点的轨迹为（ ） A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 【答案】 D 【解析】当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支（靠近点B）. 当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. （2）已知P为双曲线上的点且满足|PF1|－|PF2|＝m，且|F1F2|＝4，则m的取值范围为_____. 【答案】 （－4，0）∪（0，4） 【解析】易知m≠0且|m|<4，所以－40. （1）2a<2c，M轨迹为双曲线； （2）2a＝2c，M轨迹为两条射线； （3）2a>2c，M无轨迹图形； （4）2a＝0，M轨迹为F1F2的垂直平分线. 【举一反三】 1．已知，动点P满足，则P点的轨迹是 A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 2．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微. ”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题. 结合上述观点，可得方程的解为 （ ） A． B． C．± D．± 3．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 核心知识点2 双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 ＝1（a＞0，b＞0） ＝1（a＞0，b＞0） 图形 焦点坐标 （－c，0），（c，0） （0，－c），（0，c） a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 提示 （1）双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴. （2）两种双曲线－＝1，－＝1（a>0，b>0）的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>0，b>0，a2＋b2＝c2；不同点是：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不同. 例2. 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程. （1）c＝，经过点（－5，2），焦点在x轴上； （2）经过点P，Q. 【解析】 （1）法一 依题意可设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0）. 则有解得 ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 法二 ∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1（其中0<λ<6）. ∵双曲线经过点（－5，2）， ∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30（舍去）. ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1. （2）法一 若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1（a>0，b>0）， 由于点P和Q在双曲线上， 所以解得 （舍去）. 若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为－＝1（a>0，b>0）， 将P，Q两 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
