3.2.1 双曲线及其标准方程【第三课】 扩展1 与双曲线有关的应用问题 与双曲线有关的应用问题，具有鲜活的实际背景，需要一定阅读能力，将问题中的数量关系，转化为相应的数学模型.体现数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养. 例1（2023·湖南岳阳·高二期中）2021年9月17日神舟“十二号”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记A，B，C），A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角. 【解析】如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则A（3，0），B（－3，0），C（－5，2）. ∵|PB|＝|PC|， ∴点P在线段BC的垂直平分线上， 又易知kBC＝－，线段BC的中点D（－4，）， ∴直线PD的方程为y－＝（x＋4），① 又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0）， 则a＝2，c＝3， ∴点P的轨迹方程为－＝1（x≥2），② 联立①②，得P点坐标为（8，5）， ∴kPA＝＝， 因此在A处发现P的方位角为北偏东30°. 【方法总结】利用双曲线解决实际问题的基本步骤 （1）建立适当的坐标系. （2）求出双曲线的标准方程. （3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）. 【举一反三1-1】（2024·山东泰安·高二期末） 1．相距千米的，两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒千米，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（ ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 【举一反三1-2】 2．已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（ ） A．爆炸点在以为焦点的椭圆上 B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上 C．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米 D．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米 【举一反三1-3】 3．如下图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东30°方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远.则曲线的轨迹是 ；现要在曲线上选一处建一座码头，向两地转运货物.那么这两条公路的路程之和最短是 . 扩展2 双曲线中的最值问题 双曲线中的最值问题，既要有几何视角借助双曲线的定义及其几何性质、也要有方程思想，处理问题.体现直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 例2（2023·陕西铜川高二期中）已知定点A（3，1），F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为（ ） A. B.5＋4 C.5－4 D.＋4 【答案】C 【解析】设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a， 所以|PF|＝|PF1|－2a， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4， 结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5， 当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即点P在P′处时取得最小值， 所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4， 所以|PA|＋|PF|的最小值为5－4. 【方法总结】在求解与双曲线有关的长度问题时，注意定义的应用，在求距离的和时往往需要利用定义进行转化，注意最值获得的条件，往往在三点共线时取到. 【举一反三2-1】（2023·陕西铜川高二期中） 4．已知，B是圆上的点，点P在双曲线的右支上，则的最小值为（ ） A．9 B． C．10 D．12 【举一反三2-2】（2023·甘肃武威高二期中） 5．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
