19.1.2 矩形的判定 第3课时 素养目标 1.知道判定一个四边形是矩形的方法. 2.能熟练应用矩形的定义和判定定理证明一个四边形是矩形. ◎重点:矩形的判定定理的综合应用. 预习导学 知识点 矩形的性质定理和判定定理的综合应用 阅读教材本课时“例5”和“例6”的所有内容,解决下列问题. 1.等边三角形有哪些性质呢 2.在“例5”中,由两个等边三角形且存在一边上的中线,你能得到什么结论呢 3.由问题2可知“图19.1.12”中∠DNB= = ,因此证明四边形BMDN是矩形可以选择的判定方法是 ,因此,只需再证明 =90°即可,要想证明这个角是直角,可以根据 以及 . 4.在“例6”中判定四边形ADCE是矩形主要应用的方法: . 5.在“例6”中若想应用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明这个问题,该怎样证明呢 归纳总结 1.矩形的性质主要有 , . 2.矩形的判定方法主要有 ; ; . 3.应用对角线相等和一个角是直角证明四边形是矩形时,这个四边形必须是 ;但应用三个角是直角证明时,这个四边形是 即可. 【答案】1.等边三角形每个内角都是60°,等边三角形具有三条三线合一的线. 2.这条中线也是等边三角形的高线和角平分线. 3.∠DMB 90° 三个角都是直角的四边形是矩形 ∠NBM 等边三角形的每一个角都是60° 中线和角平分线互相重合 4.对角线相等的平行四边形是矩形 5.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB. ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD. ∵AG是∠FAC的平分线,∴∠1=∠2. ∵∠FAC是△ABC的外角,∴∠1+∠2=∠B+∠ACB,∴∠1=∠B,∴AE∥BC. ∵AB∥DE,∴四边形AEDB是平行四边形,∴BD=AE. ∵BD=CD,∴AE=DC. ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵∠ADC=90°,∴平行四边形ADCE是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 归纳总结 1.矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 2.有一个角是直角的平行四边形是矩形 有三个角都是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 3.平行四边形 一般的四边形 合作探究 任务驱动一 下列关于矩形的说法,正确的是 ( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且互相平分 方法归纳交流 矩形的对角线 ;对角线相等的 是矩形;对角线 的四边形也是矩形. 【答案】D 方法归纳交流 相等且互相平分 平行四边形 相等且互相平分 任务驱动二 如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在边BC、AC上,且DF∥AB,过点A作平行于BC的直线与DF的延长线交于点E,连接CE、BF. (1)求证:△ABF≌△ACE. (2)若D是BC的中点,判断△DCE的形状,并说明理由. 【答案】解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°. ∵DE∥AB,AE∥BD, ∴∠EFA=∠BAC=60°,∠CAE=∠ACB=60°, ∴△EAF是等边三角形, ∴AF=AE. 在△ABF和△ACE中, , ∴△ABF≌△ACE(SAS). (2)△DCE是直角三角形,∠DCE=90°. 理由:如图,连接AD, ∵DE∥AB,AE∥BD, ∴四边形ABDE是平行四边形, ∴AE=BD. ∵D是BC的中点, ∴BD=DC, ∴AE=DC. ∵AE∥DC, ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥DC, ∴四边形ADCE是矩形, ∴△DCE是直角三角形,∠DCE=90°. 任务驱动三 如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. 【答案】证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵AE=BF=CG=DH, ∴OE=OF=OG=OH, ∴四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). ∵OE+OG=FO+OH,即EG=FH, ∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 2 ... ...
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