中小学教育资源及组卷应用平台 专题05 二次函数与几何的存在性综合问题（七大类型） 【模型1：等腰三角形的存在性问题】 【方法1 几何法】“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 注意：若有重合的情况，则需排除． 以点 C1 为例，具体求点坐标： 过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1， 又 类似可求点 C2 、C3、C4 ．关于点 C5 考虑另一种方法． 【方法2 代数法】点-线-方程 表示点：设点C5坐标为(m,0)，又A（1,1）、B（4,3）， 表示线段： 联立方程：，， 【模型2：直角三角形的存在性问题】 【方法1 几何法】“两线一圆” （1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角） 如何求得点坐标？以为例：构造三垂直． 【方法2 代数法】点-线-方程 【模型3：等腰直角三角形存在性问题】 【模型4：平行四边形存在性】 线段中点坐标公式 2.平行四边形顶点公式： 分类： 三个定点，一个动点问题 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论； 两个定点、两个动点问题 这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。 方法总结： 这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。 【模型5：矩形的存在性】 1.矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形． 2.题型分析 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式： （AC为对角线时） 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．（1）2个定点+1个半动点+1个全动点； （2）1个定点+3个半动点． 思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用． 【例题】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有 在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标． 思路2：先平行，再矩形 当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形： 其中第1、 ... ...
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