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课件网) 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第1课时 函数的极值 观察图, 我们发现, t=a时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地, 导数的符号有什么变化规律？ O t a b h 单调递增 单调递减 放大t=a附近函数h(t)的图像，可以看出，h′(a)=0； 在t=a的附近，当t
0； 当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0. 新课引入 新课讲解 可以看出，；在t=a的附近， 当ta时，函数 h(t)单调递减，. 在 t=a 附近，函数值先增后减. 这样当 t 在 a 的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有. 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？ 新课讲解 探究1： 如图示，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y=f(x)在这些点的导数值是多少 在这些点附近， y=f(x)的导数的正负性有什么规律 以x=a, b两点为例, 可以发现, 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0, 右侧f′(x)>0. 类似地, 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f'(b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0, 右侧f'(x)<0. x y O a b c d e 新课讲解 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. x y O a b c d e 巩固训练 如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极小值，哪些是极大值？ 思考 极大值一定比极小值大吗？ 图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6) 是极大值． 极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值. 典型例题 例1 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) x y O -2 2 新课讲解 思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 提示： 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点 例如，对于函数，我们有. 虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有， 即函数 是增函数， 所以0不是函数 的极值点 一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 概念辨析 (3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 注意： (1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； (2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； 即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. (4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. 归纳总结 O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) O a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 判断f (x0)是极大值或是极小值的方法： 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 小结 求可导函数f(x)极值的步骤： (2) 求导数f ′(x)； (3) 求方程f ′(x)=0的根； (4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格： 检查f ′(x)在方程根左右的符号： 如果左正右负（左增右减）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（左减右增）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 新课讲解 解： x f′(x) f(x) 新课讲解 解： x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞) f′( ... ... 
