中小学教育资源及组卷应用平台 【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破） 专题02 函数实际综合应用问题-利润最值问题 中考数学中，函数最值利润问题，一直备受出题人的青睐，是考试的热点。函数最值利润问题是指在一个经济模型中，根据题意确定函数关系，结合自变量的范围来最大化利润或最小化成本的问题。本专题将通过介绍函数利润问题的基本概念、解决方法和实际应用，深入探讨这一问题。希望同学们认真理解掌握，关于利润（费用）最值问题，同学们一定要多下功夫研究学习，总结出解决这类问题的思路方法，考试中得心应手。 对于这类问题，要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。常用公式有：利润=售价-成本价，总利润=单个商品的利润×销售量，利润率=利润/进价×100%，通过公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得到解决。 特别需要注意，解答此类型题要抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销售价格对单件商品利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润（费用）与价格之间的函数关系式：运用“总利润=单件利润×总销量”或“总利润=总售价-总成本”，再化简求得相应的函数关系； （2）结合实际意义或题设条件，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定求出最大利润：若函数为一次函数，则利用一次函数的增减性求出最大利润；若函数为二次函数可以利用配方法或公式求出最大利润；当然也可以画出相应函数的简图，利用简图和性质求出最大利润。 考向一 利润最值问题（一次函数型） 例1．（2023年山东青岛中考数学真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．①请求出W与m的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)2880元 (2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数；（2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【详解】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ，解得，全部售完获利（元）． （2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件， 根据题意，即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：由①可知，， ，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值，（元）， ，服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 例2．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要 ... ...
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