新课第03讲：向量的数乘运算与数量积 学案 (原卷版+解析版)

新课第03讲：向量的数乘运算与数量积 考点一：向量的数乘运算 考点二：平面向量的混合运算 考点三：向量的线性运算的几何应用 考点四：三角形的心的向量表示 考点五：向量的数量积的定义和几何意义 考点六：数量积的运算 考点七：数量积和模关系问题 考点八：向量夹角的计算 考点九：垂直关系的向量表示 考点十：向量投影问题 考点十一：向量的数量积的综合问题 【知识梳理】 知识一 向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二 向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三 向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四 两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识五： 向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识六 投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识七 平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识八 平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果. 【详解】根据向量的四则运算可知， . 故选：D 2．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ① ② ③若，则 ④若，则 其中正确命题的个数是：（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立. 【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确； ③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误； ④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误. 故①②两个命题正确． 故选：B 3．（2023下·高一课时练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果； （2）按照向量的运算法则依次计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 题型二：平面向量的混合运算 4．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值. 【详解】, , 即, . 故选：D. 5．（2023下·江苏镇江·高一统考期中）在中，是的中点，在上且，记，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算法则运算. 【详解】∵是的中点，∴， ∵在上且，∴，∴， ... ...