1.4生活中的优化问题举例 【例题分析】 例1.村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．21cnjy.com (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 【变式训练】 1．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 【适应训练】 2.如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 ( )2·1·c·n·j·y A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x21·世纪*教育网 C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x 【课外作业】 3.【2015江苏高考】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 （其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根 【例题分析】 例1. 若函数 f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围___． 例2.设函数f(x)=lnx+,m∈R；讨论函数g(x)=f'(x)-零点的个数. 【变式训练】 1.已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 【适应训练】 2.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是 ( ) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1) 【课外作业】 3．若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为 ( ) A．4 B．6 C．7 D．8 4．已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a，g(x)＝， (1)若函数f(x)在区间上无零点，求实数a的最小值； (2)若对任意给定的x0∈(0，e]，在(0，e]上方程f(x)＝g(x0)总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．21教育网 5.设，函数． (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在上仅有一个零点； (3) 若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：．2-1-c-n-j-y 6.设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数． (1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求实数a的取值范围；【来源：21·世纪·教育·网】 (2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论． 考点三 利用导数研究与不等式有关的问题 考向一、证明不等式 【例题分析】 例1. 已知f(x)＝(1－x)ex－1. (1)求函数f(x)的最大值； (2)设g(x)＝，x＞－1，且x≠0，证明：g(x)＜1. 【变式训练】 2.设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1. 【适应训练】 3．已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．21世纪教育网版权所有 (1)设g(x)是函数f(x)的 ... ...
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