湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题（含解析）

长沙市周南中学2024年上学期高二年级入学考试数学试卷 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（作业17：2）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．设函数是定义在R上的奇函数，且，则（ ） A．3 B． C．2 D． 3．四个数，，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．（作业4：2）椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 5．已知，是两个不共线的单位向量，向量（，）．“，且”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在第19届杭州亚运会期间，某项目有A，B，C，D四个不同的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志愿者，则甲志愿者被分到A服务站的不同分法的种数为（ ） A．80 B．120 C．160 D．60 7．（作业3：4）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点P为椭圆C的上顶点，直线与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为，则椭圆C的短轴长为（ ） A．2 B．4 C．3 D．6 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对部分给分，有选错的得0分． 9．（作业11：7）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 10．（作业13：8）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（ ） A．直方图中 B．此次比赛得分及格的共有60人 C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.75 D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75 11．（作业2：8）在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为 C．过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为 D．当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（作业13：10）某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为_____． 13．（作业5：2）已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为_____． 14．如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有_____条．（用数字作答） 四、解答题：本大题共8小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 分值：13+15+15+17+17 15．如图所示，在平面四边形ABCD中，，，． （1）求的值； （2）若，，求BC的长． 16．（作业16：19）已知：在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，．M为棱PD的中点． （1）求证：平面平面PCD； （2）求点P到平面MAC的距离． 17．（作业8：14改编）已知为等差数列，为等比数列，，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）记，对任意的，恒有，求的取值范围． 18．（ ... ...