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课件网) 6.2平面向量的运算 第六章 平面向量及其应用 课时4 向量的数量积 探究一：两向量的夹角与向量数量积的定义 如图，在物理学中，一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功 =| || |cos ，其中 是 与 的夹角. 情境设置 问题：能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果 【解析】可以 问题：向量数量积的运算结果与向量线性运算的结果有什么不同 【解析】数量积的运算结果是实数，向量线性运算的结果是向量. 新知生成 知识点一 向量夹角的定义 1. 两向量夹角定义：已知两个非零向量，， 是平面上的任意一点，作 ，，则 叫作向量与的夹角.(平移到同一个起点) 特例：①当时，向量 ， _____; ②当时，向量 ， _____; ③当时，向量 ， _____，记作 ⊥ . 同向 反向 垂直 新知生成 知识点一 平面向量数量积的定义 2. 平面向量数量积的定义： 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，把数量| || | cos 叫作向量 与 的数量积(或内积)，记作 ，即 =| || |cos .特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. (1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”. (2)数量积的结果为数量，不是向量. (3)非零向量数量积的正负由两个向量的夹角 决定： 当 是零角或锐角时，数量积为正； 当 是钝角或平角时，数量积为负； 当 是直角时，数量积等于零. 一、向量数量积运算 例题1 已知向量| |=2，| |=3. (1)若向量 ， 的夹角为，求 ； (2)若 = 1，求向量 ， 夹角的余弦值. 【解析】(1)因为向量， ，向量，的夹角为 ，所以 . (2)设向量 ， 的夹角为 ，由数量积的定义，得 ， 故向量，夹角的余弦值为 . 反思感悟 方法总结 求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式 =| || |cos .运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 新知运用 跟踪训练1 已知正的边长为2，求： (1) ；(2) ；(3) . 【解析】(1) 与 的夹角为 ， . (2) 与 的夹角为 ， . (3) 与 的夹角为 ， . 探究二：投影向量 如图，一束平行光线照射在线段 上，在直线 上的投影如下. 情境设置 问题：图中的线段叫作什么 设直线与直线的夹角为，那么 与，之间有怎样的关系 【解析】 线段叫作线段 在直线. . 新知生成 知识点二 投影向量 1. 投影向量定义： 设，是两个非零向量，过 的起点 和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到，这种变换为向量向向量投影， 叫作向量 在向量 上的_____. 2. 投影向量写法： 在平面内任取一点，作 ，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为 ，过点作直线的垂线，垂足为，则 _____. 注意：记 与的夹角为，则在的投影向量为： 新知生成 知识点二 投影向量 3. 投影向量的性质： 设 ， 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则 (1) = =| |cos . (2) ⊥ =0. (3) 当 与 同向时， = | || |； 当 与 反向时， 特别地， 或 (4) | || || |. 注意：非零向量的数量积的符号由夹角决定. 当时，非零向量的数量积为正数. 当 时，非零向量的数量积为零. 当时，非零向量的数量积为负数. 二、投影向量 例题2 (1) 已知 , 为单位向量，与的夹角为则在上投影向量的模为( ) . A. B. C.1 D. (2) 已知，为单位向量，与的夹角为 ，则向量在向量上的投影向量为_____. 【解析】(1) 因为 , 为单位向量，与的夹角为 ，所以 在 上投影向量的模为 .故选C. (2) 因为 , ，所以向量 在 上的投影向量为 . C 反思感悟 方法总结 关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项 (1)向量 在 所在直线上的投影是一个向量，向量 在 所在直线上的投影的 数量是一个实数； (2) ... ...
