【模型培优】专题01 倍长中线模型 原卷+解析卷

中小学教育资源及组卷应用平台 专题01 倍长中线模型 【模型说明】 题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 思路一：延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F； 思路二：作BE⊥AD的延长线于E 连接BE； 思路三：延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【例题精讲】 【题型一、线段之间数量关系】 例．（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得的取值范围是 　　； （2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 变式1．如图，在中．是边上的中线，交于点． (1)如下图，延长到点，使，连接． 求证：． (2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． (3)如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 变式2．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【题型二、婆罗摩笈多】 例．问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是． (1)问题：请利用图1说明与的位置关系； 感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． (3)学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？ 变式1．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明．②求证：． 变式2．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【题型三、比较边与角大小】 例1．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 例2．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____，中线的取值范围是_____； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； 变式1．嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等 ... ...