专题7 多元不等式的最值问题 【2024届九省1月大联考T11】以表示数集中最大的数．，已知或，则的最小值为_____. 通过不等关系，画出线段图形，通过分析得出，解出，讨论和两种情形，结合不等式的性质得出最值. 当取得最小值时，必有： ． 为什么？如上图，因为三个数的和为，即总长为，所以，如果其中某一段小于，则必有另一段大于所以，即最小值变得更大 所以，要想使取得最小值，则必须使的值取到最大，故只需求的最大值． 由， 解得． （1）当时，即时，有， 所以，当时，取得最小值； （2）当时，即时，有， 所以，当时，取得最小值，此时． 综上可知：的最小值是． 讨论和两种情形，结合不等式的性质消去，得出最值. （1）当时，， ，，， ，． （2）当时，， ， ，， ， ．取等条件：． 综上可知：的最小值是 （23-24高三下·新疆·阶段练习） 1．已知将中最小数记为，最大数记为，若，则 ． （19-20高二上·浙江杭州·期中） 2．记y，表示x、y、z中的最小值．已知，，则的最大值为 ． 利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解 令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 若，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 综上可知的最小值为， 故答案为： 3．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为 . （23-24高三下·江西·开学考试） 4．定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为 ． （河北省邯郸市2024届高三第三次调研考试考试数学试题） 5．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． （贵州省六校联盟2024届高考实用性联考（三）数学试题） 6．以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . （23-24高三下·湖南常德·阶段练习） 7．记表示x、y、z中的最小值.若x，，，则M的最大值为 . （2020高三·浙江·竞赛） 8．设，则 . （19-20高一·浙江杭州·期末） 9．定义：为实数x，y中较小的数已知，其中a，b均为正实数，则h的最大值是 . （2018高三·全国·专题练习） 10．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令，则t的最大值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1． 【分析】 设，则，即可得到，再由，即可求出的取值范围. 【详解】设，则， 依题意，所以，又， 则， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到与、、的不等关系，将多变量问题化为单变量问题. 2． 【分析】通过的分类讨论，结合不等式的缩放和基本不等式可求解． 【详解】解：设 ，则 ①时，； ②时，，∴； ③，， 若，， 若，， ∴； ④时，， 若时，， 若时，， ∴； ⑤时，， ∴ 综上：的最大值为 故答案为: 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想方法，以及不等式的性质，是一道中档题． 3． 【分析】设，通过的分类讨论，结合不等式的缩放和基本不等式可求解. 【详解】方法一：设， 当时， 不妨设， ①当时， ②当时，， 若，则； 若，则； ③当时，，， ； ④当时，，， 同理，当时，可以证明 综上所述：S的最大值为. 方法二：由题意知，，则， 所以，解得，故S的最大值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了不等式的性质，分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 4． 【分析】 设，，，可知，，，可得出，设，分、两种情况讨论，结合不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，，，且，则，，， 所以，， 若，则，故， 设，因此，，故，即， 若，则，即， 则，故，当且仅当时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于换元，，，，将、用、、表示，结合不 ... ...
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