高三一轮复习考点练18　直线与圆锥曲线（一）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 考点练18　直线与圆锥曲线（一） 考点一：圆锥曲线的定点问题 [2023·山东青岛二中期末]平面直角坐标系xOy中，点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足 |MF1|－|MF2|＝±2，点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知A(1，0)，过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q(点P和Q都异于点A)，若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点． 2．[2023·河北邢台模拟]已知A1、A2为椭圆C：x2＋＝1的左右顶点，直线x＝x0与C交于A、B两点，直线A1A和直线A2B交于点P. (1)求点P的轨迹方程； (2)直线l与点P的轨迹交于M、N两点，直线NA1的斜率与直线MA2斜率之比为－，求证以MN为直径的圆一定过C的左顶点． 考点二：圆锥曲线的定值问题　 1．[2023·安徽蚌埠二中模拟]已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)，点P(2，2)在抛物线E上． (1)求抛物线E的准线方程； (2)过点Q(－2，0)的直线l与抛物线E交于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于N，记直线QM，QN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值． 2．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△PF1F2的面积的最大值是. (1)求C的方程； (2)过F1作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1交C于A，B两点，直线l2交C于D，E两点，求证：＋ 为定值． 考点三：圆锥曲线的最值问题 1．[2020·新高考Ⅱ卷]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为. (1)求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 2．[2022·全国甲卷]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 考点四：圆锥曲线的范围问题 1．已知双曲线C: －＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过点(2，0)作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)直线y＝kx＋m(k·m≠0) 与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点P(0，－1)为圆心的同一圆上，求m的取值范围． 2．[2023·山东肥城模拟]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，四点P1(，)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，－)中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点Q(2，0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN面积的取值范围． 参考答案 考点一：圆锥曲线的定点问题 1．解析：(1)因为|MF1|－|MF2|＝±2，所以||MF1|－|MF2||＝2＜2＝|F2F2|. 由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中c＝，a＝1， 所以b＝＝， 所以曲线C的方程为x2－＝1. (2)若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为y＝±(x－1)， 联立x2－＝1求解可得x＝－3，直线PQ过点(－3，0). 当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 代入x2－＝1，整理得(k2－2)x2＋2kmx＋m2＋2＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为AP⊥AQ，所以·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(k2＋1)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1 ＝＋＋m2＋1＝0， 整理得3k2＋2km－m2＝(3k－m)(k＋m)＝0， 解得m＝3k或m＝－k. 因为点P和Q都异于点A，所以m＝－k不满足题意． 故m＝3k，代入y＝kx＋m，得y＝k(x＋3)，过定点(－3，0). 综上，直线PQ过定点(－3，0). 2．解析：(1)由题意得A1(－1，0)，A2(1，0)，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)(y0≠0)，P(x，y)， 则＝，＝， 即＝，＝，得＝， 又∵点(x0，y0)在C上，即x－1＝－，得＝3， ∴x2－＝1(y≠0). (2)∵＝－， 设直线NA1方程为x＝－3my－1，(m≠0)，则MA2方程为x＝my＋1， 联立，得(27m2－1)y2＋18my＝0　(27m2－1≠0且Δ＞0)， 设N(xN，yN)，得xN＝－1， ... ...