湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期月考（七）数学试题（PDF版，含答案）

长沙市一中 2024 届高三月考试卷 (七) 数学试卷 一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据 15、13、12、31、29、23、43、19 、17、38 的中位数为 ( ) (A) 19 { ∣ (B) 2}3 (C) 21 (D) 18 2. 2已知集合 ∣A = x ∣ ex 2x 1 , B = { 1, 0, 1}, 则集合 A ∩B 的非空子集个数为 ( ) (A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 7 3. 已知实部为 3 的复数 z 满足 z · (1 2i) 为纯虚数, 则 |z| = ( ) √ 3 3 5 √(A) 2 (B) (C) (D) 5 2 2 4. 已知数列 {an} 满足 an = 3n b (n ∈ N , b ∈ R), 则“b < 3”是“{|an|} 是递增数列”的 ( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5. 已知 tan , sin 2θθ = 2 则 = ( ) 2 cos2 θ + 4 sin2 θ (A) 1 (B) 2 (C) 1 (D) 2 3 9 6. 过抛物线 E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点 F 的直线交 E 于点 A, B, 交 E 的准线 l 于点 C, AD ⊥ l, 点 D 为垂足. 若 F 是 AC 的中点, 且 |AF | = 3, 则 |AB| = ( ) √ √ (A) 4 (B) 2 3 (C) 3 2 (D) 3 7. 已知双曲线 C: kx2 y2 = 1 的左焦点为 F , P (3m, 4m) (m > 0) 为 C 上一点, 且 P 与 F 关于 C 的一条渐近 线对称, 则 C 的离心率为 ( ) √ (A) 5 √ √ (B) 3 (C) 2 (D) 5 2 8. 已知函数 f(x) 的定义域为(R,)且满足 f(x) + f(3 x) = 4, f(x) 的导函数为 g(x), 函数 y = g(x 1) 的图象关 3 于点 (2, 1) 中心对称, 则 f + g(2024) = ( ) 2 (A) 3 (B) 3 (C) 1 (D) 1 二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 1 1已知函数 f((x) = )cos 2x+ sin 2x, 则 ( )2 2 (A) π函数 f x 关于原点对称 8 (B) π kπ曲线 y = f(x) 的对称轴为 x = + , k ∈ Z 12 2 1 ( ) (C) π 5πf(x) 在区间 , 单调递减 8 8 (D) 曲线 y = f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程为 2x 2y + 1 = 0 10. 2π已知二面角 A CD B 的大小为 , AC ⊥ CD, BD ⊥ CD, 且 CD = 1, AC +BD = 2, 则 ( ) 3 (A) △ABD 是钝角三角形 (B) 异面直线 AD 与 BC 可能垂直 √ √ (C) 3线段 AB 长度的取值范围是 [2, 5) (D) 四面体 A BCD 体积的最大值为 4 11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继 续; 若回答错误, 得 0 分, 1同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是 和 2 2 , 且第 1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第 i 次答题者是甲的概率为 Pi, 第 i 次回答问题结束后中甲的得分是 Ki, 3 则 ( ) (A) 1P2 = (B) 5 P (K2 = 1) = 4 24 (C) 1 1Pi+1 = Pi + (D) 1 E (Ki) = Pi +Ki 1 (i 2) 6 3 2 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. (x+ 3y)(x y)8 的展开式中 x3y6 的系数为 . 13. 已知动点 P 在圆 M : (x m+1)2 + (y m)2 = 1 上, 动点 Q 在曲线 y = lnx 上. 若对任意的 m ∈ R, |PQ| n 恒成立, 则 n 的最大值是 . √ √ 14. 已知正六棱锥的高是底面边长的 2 3 倍, 侧棱长为 13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在 正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为 . 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 盒中有形状、大小均相同的卡片 6 张, 卡片依次标记数字 1, 2, 2, 3, 3, 3. (1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为 1 的概率; (2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为 2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量 X, 求 X 的分布列和 E(X). ... ...