3.4 课时1 复数的三角表示 【学习目标】 1.了解i2=-1的几何意义.(数学抽象) 2.了解cos α+isin α乘复数z的几何意义.(数学抽象) 【自主预习】 1.cos α+isin α乘复数z的几何意义是什么 【答案】 将复数z在复平面内对应的向量旋转角α. 2.什么是复数的三角形式 【答案】 z=r(cos θ+isin θ)叫作复数z=a+bi的三角形式,其中a=rcos θ,b=rsin θ. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)虚数单位i乘任意复数z的几何意义应是将复数z在复平面内对应的向量旋转90°. ( ) (2)cos +isin z的几何意义是将复数z对应的平面向量旋转角. ( ) (3)z=-2(cos θ+isin θ)是复数的三角形式. ( ) (4)复数z=cos π+isin π的模是1,辐角的主值是π. ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.复数sin 40°-icos 40°的辐角的主值是( ). A.-40° B.310° C.50° D.130° 【答案】 B 【解析】 因为复数sin 40°-icos 40°=cos 310°+isin 310°,所以该复数的辐角的主值是310°.故选B. 3.复数z=-+i的三角形式为( ). A.2cos +isin B.2cos -isin C.2cos +isin D.2cos +isin 【答案】 C 【解析】 复数z=-+i在复平面内所对应的点为(-,1),位于第二象限, 则r==2,cos θ=,所以θ=,即arg(-+i)=. 所以z=-+i=2cos +isin .故选C. 4.将复数z=cos-+isin-化为代数形式为 . 【答案】 1-i 【解析】 z=cos-+isin-=cos -isin =-i=1-i. 【合作探究】 探究1 i2=-1的几何意义 问题1:设平面向量=(x,y)对应复数z=x+yi,则=(-x,-y)对应的复数是什么 【答案】 对应的复数为-z=(-1)z. 问题2:设复数z对应的向量在第一象限,画出问题1中的图形. 【答案】 新知生成 复数乘法的几何意义 1.-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的平面向量绕起点旋转180°变成. 2.虚数i乘任意复数z的几何意义是将复数z对应的平面向量绕原点逆时针旋转90°. 新知运用 例1 复数i·z1,-z1,(-i)·z1的几何意义分别是什么 方法指导 根据复数乘法的几何意义求解. 【解析】 i·z1的几何意义是将向量(Z1是复数z1在复平面内对应的点)绕原点逆时针旋转90°, -z1的几何意义是将向量(Z1是复数z1在复平面内对应的点)绕原点旋转180°, (-i)·z1的几何意义是将向量(Z1是复数z1在复平面内对应的点)绕原点顺时针旋转90°. 【方法总结】 复数乘法几何意义解决问题,要注意旋转量和旋转方向. 将复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转90°,求所得向量对应的复数. 【解析】 复数3-i对应的点为Z,将向量按顺时针方向旋转90°,所得复数为(3-i)(-i)=-3i-. 探究2 旋转任意角 如图,把复数z对应的向量旋转角α得到',把旋转90°得到. 问题1:如何用,表示出 【答案】 =cos α·+sin α·. 问题2:在复平面内对应的复数为z,在复平面内对应的复数是什么 在复平面内对应的复数是什么 【答案】 对应的复数为iz,对应的复数为cos α·z+sin α·iz. 新知生成 用cos α+isin α乘任意复数z,其几何意义是将复数z对应的平面向量旋转角α. 新知运用 例2 根据cos α+isin α乘任意复数z的几何意义计算: (1)(cos 45°+isin 45°)2;(2)(cos 120°+isin 120°)3. 【解析】 (1)设ω=cos 45°+isin 45°,则用ω乘任意复数z,其几何意义是将z对应的向量旋转45°.于是,用ω2乘z的几何意义是将z对应的向量连续旋转两个45°,也就是将z对应的向量旋转90°.又由虚数单位i乘任意复数z的几何意义可知,ω2=i,即(cos 45°+isin 45°)2=i. (2)设ω=cos 120°+isin 120°,则用ω乘任意复数z,其几何意义是将z对应的向量旋转120°.同理可得,用ω3乘任意复数z就是将z对应的向量连续旋转三个120°,其结果就是将z对应的向量旋转360°后回到原处,所以(cos 120°+isin 120°)3=1. 【方法总结】 解决此类 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
