1.2 课时3 简单复合函数的求导 【学习目标】 1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算) 3.能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题.(数学抽象、数学运算) 【自主预习】 1.(1)现有方法能求函数y=ln(2x-1)的导数吗 为什么 【答案】 现有方法无法求出它的导数.主要原因如下:用定义不能求出极限;该函数不是基本初等函数,没有求导公式;该函数不是基本初等函数的和、差、积、商形式,不能用导数的四则运算法则解决这个问题. (2)函数y=ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗 它的结构特点是什么 【答案】 可以,函数y=ln(2x-1)是由函数y=ln u和函数u=2x-1复合而成的复合函数. (3)函数y=ln(2x-1)的导数是什么 【答案】 y'=·(2x-1)'=. 2.对于函数y=cos 2x,其导函数是y=-sin 2x吗 【答案】 不是. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=sin πx是由函数y=sin u和函数u=πx复合而成的. ( ) (2)若f(x)=ln(3x-1),则f'(x)=. ( ) (3)若f(x)=x2cos 2x,则f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2.函数y=(2x-1)n(n∈R)的复合过程正确的是( ). A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1 【答案】 A 3.函数y=的导数是( ). A. B. C.- D.- 【答案】 C 【解析】 ∵y=,∴y'=-2··(3x-1)'=-. 4.下列对函数的求导正确的是( ). A.若y=(1-2x)3,则y'=3(1-2x)2 B.若y=log2(2x+1),则y'= C.若y=cos ,则y'=sin D.若y=22x-1,则y'=22xln 2 【答案】 D 【解析】 对于A,y'=-6(1-2x)2,故A错误;对于B,y'=,故B错误;对于C,y'=-sin ,故C错误;对于D,y'=22x-1ln 2×(2x-1)'=22xln 2,故D正确. 【合作探究】 探究1 复合函数的概念 问题1:函数y=log2(x+1)是由哪些函数复合而成的 【答案】 函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1两个函数复合而成的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数. 问题2:如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的 【答案】 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出发,先根据最外层的主体函数结构找出y=f(u),再根据内层的主体函数结构找出函数u=g(x),函数y=f(u)和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x)). 新知生成 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). 新知运用 例1 下列函数是怎样复合而成的 (1)y=; (2)y=cos 3x. 【解析】 (1)令u=1-3x,则y==u-4, 所以函数y=是由函数y==u-4和函数u=1-3x复合而成的. (2)令u=3x,则y=cos u,所以函数y=cos 3x是由函数y=cos u和函数u=3x复合而成的. 【方法总结】 若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数. 函数y=是怎样复合而成的 【解析】 函数y=是由函数y=和函数u=x+1复合而成的. 探究2 复合函数的导数 问题1:如何求函数y=sin 2x的导数 试写出复合函数求导的过程. 【答案】 y=sin 2x=2sin xcos x,由两个函数相乘的求导法则可知y'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x,从整体上来看,函数y=sin 2x的外层函数是基本初等函数y=sin u,它的导数y'=cos u,内层函数是u=2x,它的导数是u'=2.可发现y'x=y'u·u'x. 求复合函数的导数一般分以下四步: 问题2:利用复合函数的求导法则求函数的导数,需注意什么 【答案】 (1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,选定适当的中间变量.(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,其中要特别注意的是中间变量的系数.如(sin 2x)'=2cos 2x,而不能错误地认为“(sin 2x)'=cos 2x”.(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则,求 ... ...
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