2.3 课时3 空间向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1.理解空间向量数量积运算的坐标表示.(数学抽象) 2.了解向量垂直的条件,并会判断两个向量是否垂直.(逻辑推理、数学运算) 3.掌握空间向量的模长和夹角公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.类比平面向量数量积运算的坐标表示,思考空间向量数量积运算该如何用坐标表示 【答案】 两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和. 2.若a⊥b,则向量a与b满足什么关系 【答案】 a·b=0. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0. ( ) (2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||==.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ 2.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是( ). A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6) C.a·b=10 D.|a|=6 【答案】 D 【解析】 由已知得a+b=(10,-5,-2),所以A错误;a-b=(-2,1,-6),所以B错误;a·b=24+6-8=22,所以C错误;|a|==6,所以D正确. 3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=( ). A.1 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由题意得ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),且(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0,解得k=. 4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为 . 【答案】 【解析】 ∵=(0,3,3),=(-1,1,0), ∴||=3,||=,·=0×(-1)+3×1+3×0=3, ∴cos<,>==. 又∵<,>∈[0,π], ∴<,>=. 【合作探究】 探究1 向量数量积的坐标表示 问题1:已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),如何求a·b 【答案】 取标准正交基{i,j,k},由已知得a=x1i+y1j+z1k,b=x2i+y2j+z2k, 所以a·b=(x1i+y1j+z1k)·(x2i+y2j+z2k) =x1x2i2+y1y2j2+z1z2k2 =x1x2+y1y2+z1z2. 问题2:设异面直线AB,CD所成的角为θ,则cos θ=cos<,>一定成立吗 【答案】 当cos<,>≥0时,cos θ=cos<,>; 当cos<,><0时,cos θ=-cos<,>. 新知生成 数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和. 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 则a·b=(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)=x1x2+y1y2+z1z2. (1)向量的模 |a|=. (2)向量a,b夹角的余弦值 cos
=. (3)空间向量的垂直 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0. 新知运用 例1 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b). 【解析】 a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2); a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6); a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7; (2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14; (a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8. 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=( ). A.-1 B.1 C.0 D.-2 【答案】 A 【解析】 因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A. 探究2 向量垂直的应用 例2 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=,b=. (1)若|c|=3,c∥,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. 方法指导 (1)根据c∥,设c=λ,则c的坐标可用λ表示,再利用|c|=3求λ的值;(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解. 【解析】 (1)∵=(-2,-1,2)且c∥, ∴设c=λ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R), ∴|c|==3|λ|=3, 解得λ=±1,∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2), ∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). ∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0, 解得k=2或k=-. 【方法总结】 向量垂直问题主要有两种题型:(1)垂直的判断;(2)利用垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入 ... ... 