第2章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 空间向量的线性运算 例1 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°. (1)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,并求出BC1的长度; (2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值. 【解析】 (1)=+=+-=+-=a+c-b. 因为a·b=|a|·|b|cos∠BAA1=1×1×cos 60°=,同理可得a·c=b·c=, 所以||= = ==. (2)因为=a+b,所以||====, 因为·=(a+b)·(a+c-b)=a2+a·c-a·b+b·a+c·b-b2=1+-++-1=1, 所以cos<,>===. 所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 小结 在几何体中,根据图形的特点,选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为一组基,或选择有公共起点且关系最明确的三个不共面的向量作为一组基,这样更利于解题. 题型2 空间向量的坐标运算 例2 (2021年新高考全国Ⅰ卷)(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( ). A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值 B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值 C.当λ=时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP D.当μ=时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P 【答案】 BD 【解析】 易知,点P在正方形BCC1B1内部(含边界).当λ=1时,=+μ=+μ,即此时点P∈线段CC1,故△AB1P的周长不是定值,故A错误. 当μ=1时,=λ+=+λ,故此时点P的轨迹为线段B1C1,而B1C1∥BC,B1C1 平面A1BC,BC 平面A1BC,所以B1C1∥平面A1BC,则点P到平面A1BC的距离为定值,所以三棱锥P-A1BC的体积为定值,故B正确. 当λ=时,=+μ,取BC,B1C1的中点分别为Q,H,连接AQ,QH,则=+μ,所以点P的轨迹为线段QH,以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1,0,1,P(0,0,μ),B0,,0,则=-,0,μ-1,=0,-,μ, 令·=μ(μ-1)=0,得μ=0或μ=1,所以点H,Q均满足,故C错误. 当μ=时,=λ+,取BB1,CC1的中点分别为M,N,则=+λ,所以点P的轨迹为线段MN.设P0,y0,,因为A,0,0,所以=-,y0,,=-,,-1,若A1B⊥平面AB1P,则A1B⊥AP,故·=+y0-=0,可得y0=-,此时点P与点N重合,故D正确.故选BD. 小结 熟记空间向量的坐标运算公式是解题的关键.在利用坐标运算公式时,注意先对向量式子进行化简再运算.综合考查了学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养. 题型3 利用空间向量解决平行、垂直问题 例3 (2022年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( ). A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 【答案】 A 【解析】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD, 又EF 平面ABCD,所以DD1⊥EF,因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以EF∥AC,所以EF⊥BD,又BD∩DD1=D,BD,DD1 平面BDD1, 所以EF⊥平面BDD1,又EF 平面B1EF, 所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正确. 如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 设AB=2, 则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2), 则=(-1,1,0),=(0,1,2),=(2,2,0),=(2,0,2),=(0,0,2),=(-2,2,0),=(-2,2,0). 设平面B1EF的法向量为m=(x1,y1,z1), 则令x1=2,则y1=2,z1=-1,可得m=(2,2,-1), 同理可得平面A1BD的法向量为n1=(1,-1,-1),平面A1AC的法向量为n2=(1,1,0),平面A1C1D的法向量为n3=(1,1,-1), 则m·n1=2-2+1=1≠0, 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直,故B错误. 因为m与n2不平行, 所以平面B1EF与平面A1AC不平行,故C错误. 因为m与n3不平行, 所以平面B1EF与平面A1C1D不平行,故D错误. 故选A. 小结 用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题,主要应用直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理.解题过程渗透了逻辑推理、直观想象以及数学运算的核心素养 ... ...
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