第3章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 条件概率 例1 (2022年新高考全国Ⅰ卷节选)一医疗团队为了研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R. (1)证明:R=·. (2)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(1)的结果给出R的估计值. 【解析】 (1)因为R=·=···=·, 又·=···=·, 所以R=·. (2)由已知得P(A|B)==,P(A|)==, 又P(|B)==,P(|)==, 所以R=·=6. 小结 求条件概率的主要方法: (1)利用条件概率公式P(B|A)=; (2)针对古典概型,可通过缩减基本事件总数求解. 本题渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型2 独立事件的概率 例2 (2021年新高考全国Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ). A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 【答案】 B 【解析】 事件甲发生的概率P(甲)=,事件乙发生的概率P(乙)=,事件丙发生的概率P(丙)==,事件丁发生的概率P(丁)==.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为=,P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确;事件乙与事件丙同时发生的概率为=,P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误. 小结 事件A,B之间独立性的判定方法 (1)定义法:P(AB)=P(A)P(B). (2)借助条件概率:P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A). (3)直接法:看事件A发生对事件B有无影响. 题型3 乘法公式与全概率公式 例3 已知甲袋中有3个白球,2个黑球;乙袋中有4个白球,4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 【解析】 记事件Ai为“从甲袋中取出的2个球有i个白球”,其中i=0,1,2,记事件B为“从乙袋中取到的一球为白球”, 则P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==, P(B|A0)==,P(B|A1)==,P(B|A2)==, 由全概率公式可得P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×+×=. 小结 本题考查利用全概率公式计算事件的概率,解题的关键在于确定从甲袋取出的2个球中白球的个数,结合全概率公式进行计算,本题渗透了数据分析以及数学运算的素养. 题型4 二项分布与超几何分布的区别与联系 例4 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本测出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到如下的样本频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量; (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列; (3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列. 【解析】 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3, 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件). (2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X的所有可能取值为0,1,2, 易知X服从超几何分布, 则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据用样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概 ... ...
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