§2 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程 基础过关练 题组一 对圆的标准方程的认识 1.(2023天津汇文中学期中)圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=3 C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=9 2.(2022重庆八中期末)方程x=表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆 3.(2023北京第三中学期中)“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2024湖南常德部分学校联考)若直线l:y=ax-b经过第二、三、四象限,则圆C:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心C位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题组二 点与圆的位置关系 5.点P(m,3)与圆(x-2)2+(y-1)2=3的位置关系为( ) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的值有关 6.(2024吉林长春第二中学月考)M(x,y)为圆B:(x-2)2+(y-1)2=4上任意一点,且点Q(-1,-3),则|MQ|的最大值为( ) A.5 B.9 C.8 D.7 题组三 求圆的标准方程 7.(2023北京科技大学附属中学期中)圆心为(1,1),且经过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=4 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=4 8.(2023北京大峪中学期中)经过三个点A(0,0),B(2,0),C(0,-2)的圆的方程为( ) A.(x-)2+(y+1)2=2 B.(x-)2+(y-1)2=2 C.(x-)2+(y+1)2=4 D.(x-)2+(y-1)2=4 9.(2024安徽“皖中联考”期中质检)关于圆(x-a)2+(y-b)2=r2有四个命题:①点A(1,-3)在圆内;②点B(2,3)在圆上;③圆心为(-1,0);④圆的半径为3.若其中只有一个假命题,则该命题是( ) A.① B.② C.③ D.④ 10.(2022安徽滁州定远育才学校期中)已知点A(1,-2),B(-1,4),求: (1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程; (2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程. 答案与分层梯度式解析 §2 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程 基础过关练 1.D 2.D 根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1(x≥0),由此确定其表示的图形为半圆,故选D. 3.B 当m=n=0时,方程等价于0=1,无意义,故充分性不成立;若方程mx2+ny2=1表示圆,则m=n>0,必要性成立.∴“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的必要不充分条件.故选B. 4.B 因为直线l经过第二、三、四象限,所以a<0,-b<0,即a<0,b>0,故圆心C(a,b)位于第二象限.故选B. 5.A ∵(m-2)2+(3-1)2=(m-2)2+4>3, ∴点P(m,3)在圆(x-2)2+(y-1)2=3外,故选A. 6.D 圆B:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为B(2,1),半径r=2,因为|BQ|==5>2,所以点Q在圆外,所以|MQ|的最大值为|BQ|+r=5+2=7.故选D. 7.A 因为圆心为(1,1),所以设圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=r2,因为圆经过原点,所以(0-1)2+(0-1)2=r2,所以r2=2,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选A. 8.C 易知AB⊥AC,∴BC为圆的直径,∴圆的半径r==2,又圆心为线段BC的中点,其坐标为(,-1),∴圆的方程为(x-)2+(y+1)2=4.故选C. 9.D 若②③正确,可得圆的半径r=,所以圆的方程为(x+1)2+y2=18,显然点A(1,-3)在圆内,①正确,④错误,符合题意;若③④正确,则圆的方程为(x+1)2+y2=9,显然点A(1,-3)在圆外,①错误,点B(2,3)不在圆上,②错误,不合题意;其他四种命题组合①②,①③,①④,②④均无法确定圆的方程,无法对剩余命题的真假进行判断.综上所述,④为假命题. 10.解析 (1)当AB为直径时,过点A,B的圆的周长最小.易知线段AB的中点为(0,1),|AB|=2, 故所求圆的圆心为(0,1),半径为, 故所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则 ∴所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20. ... ...
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