3.1.1 椭圆的标准方程 【学习目标】 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(数学抽象) 2.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.(数学运算) 3.掌握用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程.(逻辑推理、直观想象) 【自主预习】 预学忆思 阅读教材第112页“实验”中的内容,思考下列问题: 1.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2上(绳子长度大于|F1F2|)(图3.1-1),那么套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线 2.笔尖在移动的过程中,笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗 3.观察教材第112页图3.1-2.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),则椭圆的焦距是什么 点P的轨迹方程是什么 4.设P(x,y),F1(0,-c),F2(0,c),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),则椭圆的焦点位置变了吗 焦距呢 点P的轨迹方程是什么 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆. ( ) (2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关,与位置无关. ( ) (3)椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都满足a2=b2+c2. ( ) (4)方程+=1(a>b>0)表示的曲线是椭圆. ( ) 2.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为( ). A.6 B.7 C.8 D.9 3.若椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为( ). A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 4.若方程+=1表示椭圆,则实数k的取值范围是 . 【合作探究】 探究1：椭圆的定义 情境设置 问题1:当我们用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面和圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴和截平面所成的角,那么会得到怎样的曲线呢 问题2:椭圆是圆锥曲线的一种,在科研、生产和生活中具有广泛的应用.在生活中,哪些地方有椭圆的身影呢 问题3:取一条细绳,用图钉把绳子两端固定,用铅笔尖(P)把细绳拉紧,在图纸上慢慢移动,看看能画出什么图形 改变固定细绳的图钉之间的距离,图形会发生什么变化 这一过程中,移动的笔尖(动点P)满足的几何条件是什么 问题4:在定义中,如果|PF1|+|PF2|≤|F1F2|,那么动点的轨迹又是什么 新知生成 椭圆的定义:平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距. 新知运用 例1 在椭圆中,已知焦距为2,椭圆上的一点P与两个焦点F1,F2的距离之和等于4,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为 . 【方法总结】椭圆的定义具有双向作用,即若|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),则点P的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a. 巩固训练 设椭圆上的一点P与两个焦点F1,F2的距离之和等于10,过点F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= . 探究2：椭圆的标准方程 情境设置 问题1:观察教材第112页图3.1-2,建立椭圆标准方程的步骤是什么 问题2:怎么能让方程+=1更简洁 问题3: 如图,你能从中找出表示a,b,c的线段吗 问题4:椭圆的两种标准方程有什么异同点 如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置 问题5:确定椭圆的标准方程需要知道哪些量 新知生成 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦点坐标 (-c,0)与(c,0) (0,-c)与(0,c) a,b,c的关系 c2= a2-b2 新知运用 一、求椭圆的标准方程 例2 求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y轴上,且经过两点(0,2)和(1,0); (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点; (3)经过点P(-2,1),Q(,-2). 【方 ... ...
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