3.2.2 课时1 双曲线的简单几何性质 【学习目标】 1.了解双曲线的图形及简单几何性质.(直观想象) 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.(直观想象) 3.会用双曲线的几何性质解决相应的问题.(逻辑推理) 【自主预习】 预学忆思 1.类比椭圆的几何性质,结合图形,你能得到双曲线-=1(a>0,b>0)的哪些几何性质 2.你知道双曲线-=1(a>0,b>0)的顶点坐标、实轴长、虚轴长分别是什么吗 3.双曲线的渐近线的定义是什么 你能写出渐近线方程吗 4.双曲线离心率的表达形式与椭圆一样,那么它们的范围相同吗 5.什么是等轴双曲线 它的离心率是多少 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)共渐近线的双曲线的离心率相同. ( ) (2)若双曲线的渐近线互相垂直,则离心率e=. ( ) (3)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点. ( ) (4)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的形状相同. ( ) 2.已知双曲线C:y2-=1,则该双曲线的实轴长为( ). A.1 B.2 C. D.2 3.已知双曲线C:-=1的离心率为3,则m=( ). A.3 B. C.2 D.1 4.若双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,则实数m= . 【合作探究】 探究1：双曲线的范围、对称性和顶点 情境设置 问题1:观察平面直角坐标系中的双曲线C:-=1(a>0,b>0),它有怎样的范围 你能利用它的方程给出证明吗 问题2:观察双曲线的形状,它有怎样的对称性 在平面直角坐标系中,要证明一个图形关于坐标轴或原点对称,就是要证明什么 你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗 问题3:观察双曲线,你觉得有哪些比较特殊的点 你能通过方程给出证明吗 新知生成 双曲线的简单几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 性质 图形 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c 范围 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:(0,0) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴 实轴:线段A1A2,长为2a. 虚轴:线段B1B2,长为2b. 实半轴长为a,虚半轴长为b 特别提醒:(1)焦点到渐近线的距离为b; (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图; (3)双曲线上的点到焦点的最小值为c-a. 新知运用 例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长,并作出草图. 方法指导 先把方程化为标准形式,求出a,b,c的值,然后求解. 【方法总结】由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质. 巩固训练 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长、虚半轴长和焦点坐标. 探究2：双曲线的渐近线 情境设置 问题1:利用信息技术画出双曲线-=1和两条直线±=0.在双曲线的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线-=0的距离d.沿曲线向右上方拖动点M,观察xM与d的大小关系,你发现了什么 问题2:学习了渐近线的概念,我们如何比较准确地画出双曲线 问题3:渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗 问题4:已知两条渐近线的方程为Ax±By=0(A>0,B>0),如何设双曲线方程 新知生成 1.渐近线 一般地,双曲线-=1(a>0,b>0)的两支向外延伸时,与两条直线±=0逐渐接近,我们把这两条直线叫作双曲线的渐近线.实际上,双曲线与它的渐近线无限接近,但永远不相交. 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其离心率e=. 特别提醒:与双曲线-=1或-=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-=λ或-=λ(λ≠0). 新知运用 例2 (1)已知双曲线C:-=1与双曲线x2-y2=6有相同的焦点,则C的渐近线方程为( ). A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±y=0 D.x±y=0 (2)已知焦点在x轴上的双曲线,其渐近线方程为 ... ...
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