3.2.2 课时2 双曲线简单几何性质的应用 【学习目标】 1.进一步掌握双曲线的方程及其几何性质的应用,会判断直线与双曲线的位置关系.(逻辑推理) 2.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.前面我们学习了双曲线的方程、简单几何性质,你能写出双曲线的标准方程及性质吗 【答案】 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 性质 图形 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c 范围 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:(0,0) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴 实轴:线段A1A2,长为2a. 虚轴:线段B1B2,长为2b. 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 e=∈(1,+∞) 渐近线 y=±x y=±x 2.若直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点,则直线与圆(椭圆)相切.那么直线与双曲线相切能用这个方法判断吗 【答案】不能. 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线相切. ( ) (2)若直线与双曲线的一条渐近线平行,则该直线与双曲线有两个交点. ( ) 【答案】(1)× (2)× 2.(多选题)若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点,则a的值可以是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】CD 【解析】因为在双曲线-y2=1中,x≥2或x≤-2,所以若直线x=a与双曲线有两个交点,则a>2或a<-2. 3.已知双曲线C:x2-4y2=1,经过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点,则直线l的方程为( ). A.y=2x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1或y=-x+1 D.y=2x-1或y=-x+1 【答案】C 【解析】由双曲线的几何性质可知,点P(2,0)在双曲线右顶点的右侧,当直线l与渐近线平行时,直线l与双曲线C有唯一公共点, 由于双曲线的渐近线为y=±x, 因此直线l的方程为y=(x-2)或y=-(x-2),即y=x-1或y=-x+1. 4.已知直线y=kx+1(k∈R)与双曲线3x2-y2=1,则当k为何值时,直线与双曲线有一个公共点 【解析】由 得(3-k2)x2-2kx-2=0, 因为直线与双曲线有一个公共点, 所以3-k2=0或 解得k=±或k=±. 【合作探究】 探究1：直线与双曲线的位置关系 情境设置 问题1:若直线和双曲线只有一个公共点,则直线和双曲线一定相切吗 【答案】可能相切,也可能相交,当直线和渐近线平行时,直线和双曲线相交且只有一个交点. 问题2:过点(0,2)且和双曲线-=1只有一个公共点的直线有几条 【答案】四条,其中有两条切线,两条和渐近线平行的直线. 问题3:判断直线与双曲线的位置关系要注意什么 【答案】(1)联立直线方程与双曲线方程,消元后得到的方程不一定是一元二次方程,也可能是一次方程,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.(2)直线与双曲线只有一个公共点时,直线不一定与双曲线相切,也可能相交,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行. 新知生成 直线与双曲线的位置关系 直线:Ax+By+C=0,双曲线:-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y,得mx2+nx+q=0. 位置关系 公共点 判定方法 相交 1个或2个 m=0或 相切 1个 m≠0且Δ=0 相离 0个 m≠0且Δ<0 新知运用 例1 已知直线y=kx与双曲线4x2-y2=16.当k为何值时,直线与双曲线满足下列关系: (1)有两个公共点 (2)有一个公共点 (3)没有公共点 方法指导 要研究直线与双曲线的交点个数,通常需联立直线与双曲线方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程或一元一次方程,再对方程解的个数进行讨论. 【解析】由消去y,得(4-k2)x2-16=0. 当4-k2=0,即k=±2时,方程无解. 当4-k2≠0时,Δ=-4(4-k2)(-16)=64(4-k2)≠0, 当Δ>0,即-22时,方程无解. 综上所述: (1)当-2
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