3.3.2 抛物线的简单几何性质 【学习目标】 1.掌握抛物线的简单几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(直观想象) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(数学运算) 3.对通径、焦半径公式进行初步探索.(逻辑推理) 【自主预习】 预学忆思 预习教材,类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图形,说出抛物线y2=2px(p>0)的下列性质. 1.抛物线y2=2px(p>0)中,x,y的范围是什么 【答案】x≥0,y∈R. 2.抛物线y2=2px(p>0)的对称轴是什么 是否存在对称中心 【答案】对称轴为x轴,不存在对称中心. 3.抛物线的顶点坐标有几个 顶点坐标是什么 【答案】只有一个顶点,顶点坐标为(0,0). 4.抛物线的离心率是多少 【答案】e=1. 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称. ( ) (2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. ( ) (3)虽然抛物线的标准方程各不相同,但是抛物线的离心率都相同. ( ) (4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同. ( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.若直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,且AB⊥x轴,|AB|=4,则抛物线的焦点到直线AB的距离为( ). A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】A 【解析】已知|AB|=4及AB⊥x轴,不妨设点A的纵坐标为2,代入y2=4x得点A的横坐标为2,从而直线AB的方程为x=2.又y2=4x的焦点为(1,0),所以抛物线的焦点到直线AB的距离为1. 3.(多选题)对于抛物线x2=y,下列描述正确的是( ). A.开口向上,焦点为(0,2) B.开口向上,焦点为0, C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y=-4 【答案】AC 【解析】由抛物线x2=y,即x2=8y,可知抛物线的开口向上,焦点坐标为(0,2),焦点到准线的距离为4,准线方程为y=-2. 4.过抛物线y2=2x的焦点且与对称轴垂直的弦长为 . 【答案】2 【解析】抛物线y2=2x的焦点为F,0,对称轴是x轴,故经过点F且垂直于x轴的直线l的方程为x=, 由得或 即直线l:x=与抛物线的交点为A,1,B,-1,则|AB|=2,即所求弦长为2. 【合作探究】 探究1：抛物线的简单几何性质 情境设置 问题1:观察图形,你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗 从“数”的角度,也就是从抛物线方程的角度,怎样得到抛物线中横、纵坐标的取值范围呢 【答案】通过观察图形,学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围,即x≥0,y∈R.在方程y2=2px,p>0中,y并无限制,因此y∈R.因为2px=y2≥0,且p>0,所以x≥0. 问题2:从“数”的角度,怎样说明抛物线y2=2px,p>0关于x轴对称 【答案】要说明抛物线关于x轴对称,只需要在抛物线上任取一点P(x0,y0),然后说明P(x0,y0)关于x轴的对称点P'(x0,-y0)也在抛物线上即可. 问题3:从“数”的角度,如何从方程中得到抛物线的顶点 【答案】在抛物线的方程中,y2=2px,p>0,令x=0,得y=0,即抛物线的顶点为(0,0). 问题4:从“数”的角度,如何得到抛物线的离心率 【答案】根据抛物线离心率的定义可知e=1. 新知生成 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图象 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e=1 新知运用 例1 已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、x的取值范围; (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 【解析】(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、x的取值范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞). (2) 如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M. 因为焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|. 因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3, 所以M( ... ...
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