3.5 圆锥曲线的应用 【学习目标】 1.了解圆锥曲线的发展和应用.(数学抽象) 2.掌握圆锥曲线在天体运行轨道、斜抛物体轨迹、光学性质以及现代建筑中的应用与体现.(数学建模、数学运算) 【合作探究】 探究1：天体运动的轨道 例1 如图, “天宫三号”的运行轨道是以地心(地球的中心)F为其中一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距离地面n千米,并且F,A,B在同一条直线上,地球的半径为R千米,则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为( )千米. A.2mn B. C.mn D.2 【方法总结】开普勒行星运动定律激发了人们更深入的思考.牛顿根据开普勒定律得出万有引力定律,人们按照万有引力定律可以推出,太阳系的行星每时每刻都环绕太阳在椭圆轨 道上运行,而某些天体的运行速度若增大到某种程度,则它就将会沿抛物线或双曲线运行. 巩固训练 人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1,r2,则卫星轨道的离心率等于( ). A. B. C. D. 探究2：斜抛物体的轨迹 例2 公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰好在水面中心,OA=1.25米,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示.为使水流形状较为漂亮,设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米,如果不计其他因素,那么为了使喷出的水流不致落到池外,水池的半径至少为( )米. A.1 B.2 C.2.5 D.4 【方法总结】运动场上推出的铅球、投出的篮球,都是斜抛物体,它们的运动轨迹近似于抛物线.喷水池里喷出的水柱中的每一部分水也可以看作斜抛物体,水柱的形状也接近于抛物线. 巩固训练 跳水运动员在进行10 m跳台跳水比赛时,身体(看成一点)在空中的运动路线为经过原点O的一条抛物线(如图所示,图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 m,入水处距池边的距离为4 m,同时,运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式. (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 m,问此次跳水会不会失误 并通过计算说明理由. (3)要使此次跳水不至于失误,且该运动员按(1)中抛物线运行,则运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离至多应为多少 探究3：光学性质及其应用 例3 圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质,这些性质均与它们的焦点有关.如:从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上,经过反射后通过椭圆的另一个焦点;从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上,经反射后的光线平行于抛物线的对称轴.某市进行科技展览,其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质,此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图,椭圆与抛物线均关于x轴对称,且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点,F1,F2,为椭圆C2的焦点,同时F1也为抛物线C1的焦点,其中椭圆C2的短轴长为2,在焦点F2处放置一个光源,其中一条光线经过椭圆C2两次反射后再次回到焦点F2,经过的路程为8.经过焦点F2照射的某些光线经椭圆C2反射后穿过小孔,再由抛物线C1反射之后不会被椭圆挡住. (1)求抛物线C1的方程; (2)若过焦点F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔,再经抛物线C1上的点Q反射后刚好与椭圆C2相切,求此时的线段QF1的长; (3)在(2)的条件下,求线段PQ的长. 【方法总结】(1)椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面.以旋转椭球面做反射镜时,从它的一个焦点F1发射 ... ...
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