复习课 立体几何初步 学习目标 1.理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 2.用等体积法解决求点到平面的距离问题. 3.用割补法求解不规则几何体的体积. 4.解决平面图形有关翻折的证明和计算问题. 学习活动 目标一：理解单元知识架构，建构本单元知识体系. 任务：根据下列问题,回顾本单元知识，建构单元知识框图. 如何画出空间几何体直观图？其画图步骤有哪些？ 什么是基本几何体的结构特征？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体结构吗？举例说明. 如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？柱、锥、台体积公式之间有怎样的联系？ 平面的三个基本事实是什么？它是如何刻画平面“平”、“无限延展”的？ 我们应用了哪些思想和方法研究直线与平面的位置关系？其位置关系又有哪些？如何判定？有什么性质？ 【归纳总结】 目标二：用等体积法解决求点到平面的距离问题. 当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法. 任务：利用等体积法求下列空间几何体中点到平面的距离. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 参考答案： 解：（1）连接，交于点，连接， 四边形为平行四边形， 为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）由（1）知：平面， 点到平面的距离即为点到平面的距离； 三棱柱为直三棱柱,为等边三角形, ，，， ，， ； ，， ； 设点到平面的距离为， 则，解得：， 点到平面的距离为. 【归纳总结】 用等体积法求点到面的距离： 通常在三棱锥中，转换底面与顶点，利用等体积求距离． 在用变换顶点求体积时，有时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系(线面平行，面面平行)转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同面面平行也可以变换顶点. 练一练： 在正方体中，E是的中点，若，求点B到平面ACE的距离. 参考答案：如图，在正方体中，，是的中点， 则，，． ． 设点到平面的距离为， 由，得， 解得． 故点到平面的距离为 目标三：用割补法求解不规则几何体的体积. 割补法包括分割求和法与补形法： 1.分割求和法：把一个不规则的几何体分割成几个规则的几何体，求出每个规则几何体的体积，再进行体积求和即可； 2.补形法：当直接求某些几何体的体积较困难时，可以将它 补成熟悉的几何体，如正方体、长方体等对称性比较好的几何体，以此来求几何体的体积. 任务：利用割补法求下列几何体的体积. 如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，，，EF上任意—点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. 参考答案： （方法一）如图所示，连接EB，EC， 则该多面体的体积. . ∵，，∴. 连接 AC， 故该多面体的体积. （方法二）如图所示，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH， 则，，，得三棱柱和四棱锥. 由题意得. 连接BE，BH， 故该多面体的体积. 【归纳总结】 大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥，多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”. 目标四：解决平面图形有关翻折的证明和计算问题. 任务：分析下列图形翻折前后的变化，解决下列问题. 如图，菱形的对角线与交于点O，点E，F分别在，上，，交于点H，将沿折到的位置． （1）证明：； （2）若： ①证明：平面； ②求五棱锥的体积． 参考答案： （1）证明：由已知得，， 又由得，故， 由此得，，所以． （2）①证明：由得． 由得． 所以． 于是，故． 由（1）知， 又，． 所以平面，于是． 又由，，所以平面． ②又由得． 五边形的面积， 所以五棱锥体积． 【归纳总结】 解决折叠问题的步骤： （1）确定折叠前 ... ...
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