复习课 立体几何初步 学习目标 1.理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 2.了解化归与转化思想，掌握其在立体几何中的应用. 学习活动 目标一：理解单元知识架构，建构本单元知识体系. 任务：根据下列问题,回顾本单元知识，建构单元知识框图. 什么是基本几何体的结构特征？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体结构吗？举例说明. 如何画出空间几何体直观图？其画图步骤有哪些？ 如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？柱、锥、台体积公式之间有怎样的联系？ 平面的三个基本事实是什么？它是如何刻画平面“平”、“无限延展”的？ 我们应用了哪些思想和方法研究直线与平面的位置关系？其位置关系又有哪些？如何判定？有什么性质？ 【归纳总结】 目标二：了解化归与转化的思想，掌握其在立体几何中的应用. 化归与转化思想：将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.在本章中，转化思想体现得淋漓尽致，比如求体积、距离有时要用到顶点的转化，球的切接问题要将空间几何图形转化为平面几何图形，位置关系的证明、空间角的求解转化到三角形中求解等等． 任务1：利用等体积思想求空间几何体的体积和距离. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥C1-B1DA的体积为（ ） ( ) A．3 B． C．1 D． 参考答案： 解：在△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，＝×2×＝.又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD 平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A-B1DC1底面上高．∴＝××＝1.故选C. 【方法归纳】 等体积转换法： (1)用等体积法求空间几何体的体积：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换． (2)用等体积法求点到面的距离：通常在三棱锥中，转换底面与顶点，利用等体积求距离． 练一练： 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1AC的距离等于（ ） ( ) A． B． C．1 D． 参考答案： 如图，连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1-ABC的高，AD1＝CD1＝，取AC的中点O，连接D1O，则D1O⊥AC，所以D1O＝＝.设点B到平面D1AC的距离为h，则由，得·h＝S△ABC·D1D．因为＝D1O·AC＝××2＝，S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，所以h＝.故选B． 任务2：利用转化思想求解与球有关的组合体中的外接球的表面积. 已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，求三棱锥A-BCD的外接球的表面积. ( ) 参考答案： 取BD中点M，连接AM，CM.取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，其中OQ＝，CQ＝.连接OC，则外接球的半径R＝OC＝，所以表面积为4πR2＝． 【方法归纳】 空间与平面转换：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解决与球有关的组合体问题，不仅用到高维、也要用到低维．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题． 练一练： 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为_____． 参考答案： 如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE. ∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则(3＋3)r＝，r＝＝－1. ... ...
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