7.4.2超几何分布 第二课 归纳核心考点 题型一 超几何分布 例1.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率； （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列． 【解】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则． 所以，选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为． （2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． ， 所以，， ，． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【方法总结】求超几何分布的分布列的步骤： 第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； 第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列． 超几何分布的关注点： （1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，其实质是古典概型． （2）超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的分布列． 【变式训练1-1】 （山东滨州2022高二期中） 1．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ） A．X表示取出的最小号码 B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码 C． X表示取出的红球个数 D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数 【变式训练1-2】 2．袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是. （1）求白球的个数； （2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列. 【变式训练1-3】 3．盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求的分布列. 题型二 超几何分布的均值与方差 例7 从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量表示所选3人中男生的人数． （1）求的分布列； （2）求的均值和方差； （3）求的概率． 【思路分析】对于第（1）（2）问，根据求离散型随机变量的分布列、均值与方差的一般步骤进行求解，特别地需要利用超几何分布求概率；第（3）问是互斥事件概率加法公式的运用． 【解】（1）由题知的可能取值为0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 P （2）由（1）可得，． （3）由（1）可得． 【方法总结】求超几何分布的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要能正确求出每一个结果出现的概率． 【变式训练2-1】 （浙江宁波十校2022联考） 4．从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定： （1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量 （2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量 则（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-2】 5．袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. 易错点 对超几何分布的概念理解不透致错 典例 一盒中装有12个零件，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品后就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X的分布列． 【错解】由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【错因分析】本题易错认为X服从超几何分 ... ...
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