7.4.2超几何分布 第三课（学案+练习） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2超几何分布 第三课 知识扩展延伸 扩展1：超几何分布与二项分布的综合应用 例1 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2道题的可提交通过． 已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成． （1）求考生甲能正确完成的题数的分布列，并计算数学期望； （2）若考生乙每道题能正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响，试从至少正确完成2道题的概率分析比较两位考生的实验操作能力． 【解】（1）设考生甲能正确完成实验操作的题数为X，X的所有可能取值为1，2，3，则，． 所以考生甲能正确完成实验操作的题数的分布列为 X 1 2 3 P 所以． （2）设考生乙能正确完成实验操作的题数为Y，则，所以，， 所以． 又， 所以． 从至少正确完成2道题的概率来看，甲通过的可能性大，因此甲的实验操作能力较强． 方法总结：不放回抽样中服从超几何分布，在有放回抽样中服从二项分布． 【举一反三1-1】 1．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每月进行训练的天数 人数 10 60 30 （1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取20个，再从抽取的20个人中随机抽取4个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求的分布列及数学期望. 【举一反三1-2】 2．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽取次品数的均值 （2）放回抽样时，抽取次品数的均值． 【举一反三1-3】 3．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品 (1)若从10件产品中任意抽取1件，求抽到一等品件数的分布列． (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回．设取到一等品的件数为，求的分布列及均值． (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回．设取到一等品的件数为X，求： ①X的分布列及均值； ②取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 扩展2：超几何分布、条件概率、全概率的的综合应用 例2.（2024·安徽合肥·一模）2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园 26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车 骑自行车和步行三种方式游园. （1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； （2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2）0.4 【分析】 （1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据题意结合全概率公式运算求解. 【详解】（1）由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为 ... ...