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课件网) 专题三 数 列 微专题23 数列求和 数列求和是高考数学的必考内容，一般利用等差数列的通项来构建考查裂项求和，构建等差、等比数列考查错位相减法求和，解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往是第1问，数列求和则是第2问.近几年在数列求和中加大了思维能力的考查，减少了对程序化计算(错位相减、裂项相消)的考查，主要基于新的情景，要求考生通过归纳或挖掘数列各项间关系发现规律再进行求和.难度中等偏上. 考情分析 思维导图 内容索引 典型例题 热点突破 考点一 并项求和与分组求和 典例1 (2023·厦门模拟)记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn；等比数列 的公比为q，前n项和为Tn，已知b3＝4a1，S4＝b3＋6，T3＝7a1. (1)求d和q； 由已知条件可得， 由①②消去b1q2得d＝1， 当q>0时，q＝2，则b1＝a1＝1，所以an＝n，bn＝2n－1， ＝(c1＋c2)＋(c3＋c4)＋…＋(c2n－1＋c2n) c2n－1＋c2n＝－(2n－1)·22n－1＋2n·22n－1＝22n－1， 跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝Sn＋2. (1)求数列{an}的通项公式； ∵an＋1＝Sn＋2， ∴an＝Sn－1＋2(n≥2)， 两式相减得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an(n≥2)， ∴{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴an＝2·2n－1＝2n. 由(1)得an＝2n， 则bn＝an＋log2a2n＋1＝2n＋log222n＋1＝2n＋2n＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(2＋3)＋(22＋5)＋…＋(2n＋2n＋1) ＝(2＋22＋…＋2n)＋(3＋5＋…＋2n＋1) 典例2 (2023·郑州模拟)已知数列{an}满足n(an＋1－an)＝2an，a1＝2，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； 考点二 裂项相消法 ∵n(an＋1－an)＝2an， ∴nan＋1＝(n＋2)an， ∴an＝n(n＋1). 跟踪训练2 (2023·六安模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2n＋1－1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； 当n＝1时，a1＝S1＝22－1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n， 经验证，当n＝1时，a1＝3≠21. 考点三 错位相减法 典例3 (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1,2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； 因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0； 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2， 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1， 所以2Sn－2Sn－1＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1， 又因为a2＝1， 所以an＝n－1， 当n＝1,2时都满足上式， 所以an＝n－1，n∈N*. 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn 跟踪训练3 (2023·成都模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，log3bn＋1－1＝log3bn，且2an＝an＋1＋an－1(n≥2).S3＝b3＝9，b4＝a14. 又b3＝9，得b1＝1，∴bn＝3n－1， 由2an＝an＋1＋an－1(n≥2)知{an}是等差数列，且b4＝a14＝27，S3＝9， ∴an＝2n－1. ∵an＝2n－1，bn＝3n－1， ∴cn＝an＋1·bn＋1＝(2n＋1)3n， ∴Tn＝3×31＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n， 则3Tn＝3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n－1)·3n＋(2n＋1)·3n＋1， 两式相减得－2Tn＝32＋2×32＋2×33＋…＋2·3n－(2n＋1)·3n＋1 ∴Tn＝n·3n＋1. 总结提升 1.分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和差. 2.裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项. 3.错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列. 1 2 3 4 1.(2023·益阳质检)数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝3，当n≥2时，Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋n＋1. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 当n≥2时，由Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋n＋1可得Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋n＋1， 即an＋1＝an＋n＋1， 因为a1＝1，a2＝3，所以当n＝1时也满足an＋1＝an＋n ... ...
