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课件网) 专题四 立体几何 微专题25 空间几何体 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上. 考情分析 思维导图 内容索引 典型例题 热点突破 典例1 (1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则 √ 考点一 表面积与体积 √ 依题意，∠APB＝120°，PA＝2， C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示， 则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角 P－AC－O的平面角， 则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1， (2)(2023·新高考全国Ⅰ)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝ 1，AA1＝ 则该棱台的体积为_____. 如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M， 易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高， 跟踪训练1 (1)(2023·广州模拟)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为 √ 设圆锥和圆柱的底面半径为r， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长l＝2r， 所以圆锥的侧面积S1＝πrl＝2πr2， (2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB.记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则 A.V3＝2V2 B.V3＝V1 C.V3＝V1＋V2 D.2V3＝3V1 √ √ 如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF. 设AB＝ED＝2FB＝2， 则AB＝BC＝CD＝AD＝2，FB＝1. 因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED， 所以FB⊥平面ABCD， 因为ED⊥平面ABCD，AC 平面ABCD， 所以ED⊥AC， 又AC⊥BD， 且ED∩BD＝D，ED，BD 平面BDEF， 所以AC⊥平面BDEF. 因为OE，OF 平面BDEF， 所以AC⊥OE，AC⊥OF. 所以EF2＝OE2＋OF2，所以OF⊥OE. 又OE∩AC＝O，OE，AC 平面ACE， 所以OF⊥平面ACE， 所以V3≠2V2，V1≠V3，V3＝V1＋V2,2V3＝3V1， 所以选项A，B不正确，选项C，D正确. 典例2 (1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢.”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为40 km，山高为 B是山坡SA上一点，且AB＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光 公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度 最短时，下坡路段长为 A.60 km B. C.72 km D. √ 考点二 空间几何体的折展问题 如图为圆锥的侧面展开图，连接A′B， 由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A′B， 过点S作A′B的垂线，垂足为H， 记点P为A′B上任意一点，连接PS，当上坡时，P到山顶S的距离PS越来越小，当下坡时，P到山顶S的距离PS越来越大， 则下坡路段为图中的HB， 由Rt△SA′B∽Rt△HSB， (2)(2023·黄山模拟)如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥P－EFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1重合，H与H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P－EFGH体积的最大值为 √ 根据题意，PG是侧棱，底面正方形EFGH的对角线的一半是GC， 设GC＝x,0
