第3题 二次问题恒成立，转化最值求参数 学案（含解析） 2024年高中数学三轮复习之一题多解

第3题 二次问题恒成立，转化最值求参数 设函数，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是_____． 由所给的解析式及对应法则，原不等式可转化为含参数不等式对恒成立，求参数m的取值范围.原不等式化简，参变分离，令求的最小值转化为解关于m的不等式结论 ∵，∴，即，∵，∴恒成立． 令，∵，∴． ，∴，即． ∴或． ∴． （23-24高三下·河南·开学考试） 1．已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 原不等式化简，参变分离，整理成令求的最小值令或转化为解关于m的不等式结论. 不等式可化为， 即． 整理，得，∵，∴． 令，． 于是问题转化为对任意，恒成立向题，为此需求，的最大值． 设，则．函数在区间上是增函数． 因此在处取得最大值． ∴．整理得． ∴，解得或． ∴． 评注：问题转化为对任意，恒成立后，可以用下面的方法求，的最大值，从中读者可以体会对观察问题的不同视角可以呈现不同的解题方法，值得比较和品鉴． 设，则，于是． ∵函数在上是增函数，∴当时，，从而，∴． 整理，得，即．解得或． （23-24高一上·浙江·阶段练习） 2．已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 原不等式化简，整理成令转化为二次函数时恒成立结论. 不等式可化为， 即， 整理，得，令． 由于，则其判別式，因此的最小值不可能在函数图象的顶点处得到．∴为使对任意恒成立，必须使为最小值，如图3-1所示． 即实数m应满足 解得．因此实数m的取值范围是． 【点评】 有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． （23-24高一上·广西·阶段练习） 3．已知函数 (1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围. (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 运用特例法，以代入原不等式转化为解关于m的不等式结论．作为填空题，与其他解法比较，取特例验证最为简捷. 由题设，∵对任意，恒成立，则对，不等式也成立．把代入不等式，得． 即．① ∵，①式两边同乘以，并整理得， 即．∴．解得或． 因此，实数m的取值范围是． （2024·全国·模拟预测） 4．已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是 ． （23-24高一下·重庆·阶段练习） 5．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2023高二上·山西·学业考试） 6．设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． （23-24高一上·江苏扬州·阶段练习） 7．已知正实数满足，且对任意恒成立，则实数的最小值是 . （2018·天津·高考真题） 8．已知，函数若对任意，恒成立，则a的取值范围是 ． （23-24高一上·云南曲靖·期中） 9．已知二次函数 (1)若为偶函数，求在上的值域； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围. （2024高三·全国·专题练习） 10．设函数． (1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．D 【分析】 将原不等式转化为，再求的最大值即可得到的最小值. 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 故， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，实数的最小值为. 故选：D. 2． 【分析】先把原不等式分解为二次不等式，分类讨论后运用整体代换和基本不等式即可. 【详解】原不等式， 由，知时，，时，， 故由原不等式知时，时， 由恒成立知且，即， 故所求式， 设，则， 则所求式递增， 故最小值在时取得：. 故答案为：. 3．(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数的性质，建立不等式即可求出结果； （2）根据题意得，当时，恒成立，构造函数，将问题转化为即可求解. 【详解】（1）函数的对称轴为， 又函数 ... ...