第1题 集合关系与运算，转化化归渡难关 设集合，，若对任意实数a，均有，则实数b的最大值为_____． 参变分离得，要使此不等式恒成立，的最小值，而该最小值完全可以运用均值不等式求得. 当时，，此时A中任意元素均能使成立，则． 当时，． ∵，∴． ⅰ当时，； ⅱ当时， ∵，∴． 综上，b的最大值为2． 1．集合A中的元素个数用符号表示，设，N为自然数集．若，则实数m的取值范围是 ． 通过构造转化为直线与抛物线的位置关系，数形结合求解，临界状态是两者相切. 当时，． ． 依题意可知，当直线与抛物线相切时，，切点为．当时，，此时A中任意元素均能使成立，则． ∴b的最大值为2． 2．已知集合.若，求实数的取值范围 确定主元，视集合A中的方程为关于a的二次方程，利用判别式得到关于x、y的不等式，再把此不等式变形为的不等式，而集合B中的不等式变形为，而此不等式恒成立，即，在解的不等式时即可得到. 以a为主元，原方程整理为． 由得． ∴． 当时，有，解得或．∴ 当时，． 综上，b的最大值为2． 3．设集合，，则有（ ） A． B． C． D． 4．集合，．若集合，则应满足 A．或 B． C．或 D． （23-24高二上·湖南长沙·阶段练习） 5．集合，集合，若中有8个元素，则值可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 （22-23高一上·江苏苏州·阶段练习） 6．函数的最大值记为M，最小值记为m，其中为负常数，若，则 ，T的最小值为 ． 7．设a、b是两个实数． 集合． 集合． 集合． 是平面xOy内的点集，试问是否存在实数a、b能同时满足如下两个条件： ①；②． 8．试求实数k的取值范围，使抛物线的所有弦都不能被直线垂直平分. （23-24高一下·辽宁·阶段练习） 9．已知集合. (1)求； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1． 【分析】 方法一：分离参数得，设新函数，利用导数即可得到不等式，解出即可；方法二： 转化为存在3个大于1的整数解，利用两函数，的图象得到不等式组，解出即可. 【详解】 解法一：由题意，当时，不成立． 故存在3个大于1的整数解． 此时，等价于存在3个大于1的整数解． 令，由于， 当时，；当时，. 故在上单调递減，在上单调递增． 由图1-1知，，即，即. 解法二：由题意，当时，不成立． 故存在3个大于1的整数解． 此时，等价于存在3个大于1的整数解． 令，，， 当时，；当时，. 故在上单调递減，在上单调递增． 如图1-2所示，作出两函数图象， 易知，即，解得. 故答案为：. 2． 【解析】集合表示的是二次函数上的所有的点，集合是直线在区间上的线段，由可知，两函数解析式联立方程转化为方程在上有根的问题 【详解】解：因为， 所以方程组在上有解， 所以方程在上有根， （1）当方程在上有两个根时， 则，且，且， 解得， 当时，方程为，即，此时方程的根为或，两根均在区间上， 所以 （2）当当方程在上有1个根时， 则且， 解得， 由（1）可知当时，方程在上有两个根， 所以 综上， 所以实数的取值范围， 【点睛】此题考查集合的交集运算，由集合运算结果求参数的取值范围，属于中档题. 3．D 【分析】对集合中的方程中左边的项移项，然后用平方法进行化简，对集合中的参数方程用平方法进行消参，然后逐一判断即可. 【详解】,化简后再通过平方法化简，得，因此； ，因此 ， 显然，，，. 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的运用，方程的恒等变形、消参是解题的关键. 4．A 【解析】先化简集合，再由，转化为直线与曲线无交点，结合图像，即可求出结果. 【详解】由题意可得， 因为， 由可得： 直线与曲线无交点， 由得或， 作出曲线的图像如下： 由图像易知，当直线恰好过时，恰好无交点； 因此时，满足题意； 综上或. 故选A 【点睛】本题主要考查根据直 ... ...
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