第5题 直线与圆关系，巧求面积最值问题 【四川省成都市石室中学2023～2024学年高三上学期期中考试T16】 如图，已知圆，圆，过直角坐标原点作直线分别交两圆于，过点作直线分别交两圆于，连接，则四边形面积的最大值为_____． 由相似以及线段比例得出面积比，进而得出，设，得出，，再由导数法得出面积最值． 设轴与圆交于点，交圆于点，连结，，则， ．同理， 所以， 设，则， 则，设点到直线的距离为， 则， 所以， 设， 当单调递增，当，单调递减， 所以当． 1．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是 ． （23-24高三上·海南·阶段练习） 2．在平面直角坐标系中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则面积的最大值是 ． 分别过两圆心作AB垂线，利用相似比得出，再由面积公式以及基本不等式得出面积最值． 作于于，易知， 所以，同理． 记面积为，则， ，所以． 下面求面积为的最大值（半径为1的内接三角形） 当且仅当时取等号， 所以． （23-24高二上·湖北武汉·期中） 3．已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为 ． （2023·安徽阜阳·三模） 4．已知A，B分别为圆与圆上的点，O为坐标原点，则面积的最大值为 . 设，对面积构造一个关于的函数，利用圆内接三角形面积最大的结论（圆内接正三角形面积最大）求解． 设， 则，所以 （2022·全国·模拟预测） 5．在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为 ，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为 ． （2023·河北·一模） 6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（ ） A．10 B．12 C．13 D．15 （2022高三·全国·专题练习） 7．过圆内一点作倾斜角互补的直线和，分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（ ） A． B． C． D． （2020高三下·全国·专题练习） 8．已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为（ ） A．150° B．135° C．120° D．不存在 （18-19高二上·湖南长沙·开学考试） 9．已知圆，过圆T内定点作两条相互垂直的弦和，那么四边形面积最大值为（ ） A．21 B． C． D．42 （20-21高三上·安徽池州·期末） 10．过点的直线与圆相交于A，B两点，则（其中O为坐标原点）面积的最大值为 A． B． C．1 D．2 （20-21高三上·重庆·阶段练习） 11．在平面直角坐标中，已知，，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1． 【分析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值. 【详解】 设圆心到直线距离为，则， 所以点P到AB的距离为或，且 所以 令（负值舍去） 当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 2． 【分析】 根据条件先确定出的位置关系，然后利用到的距离表示出，由此构造函数利用导数求解出的最大值. 【详解】设中点为，因为，所以， 由垂径定理可知，且有公共点，所以共线， 所以， 设到的距离为，所以，， 所以到的距离为（位于和之间）或（位于和之间），且， 所以且， 设， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以的最大值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的综合运用，涉及到几何法表示弦长、利用导数求最值，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键点有两个：（1）根据长度关系能推理出位置关系；（2）表 ... ...
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