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课件网) 7.3.1等比数列 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 等比数列是另一种有特殊规律的数列，其通项公式、求和公式 的推导蕴含着与等差数列不同的重要的数学思想方法. 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。 如果将“一尺之棰”视为单位“1”， 则每日剩下的部分依次为： 引例： 引例： ② 如下图是某种细胞分裂的模型： 细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1 2 4 8 16 … 引例： ③计算机病毒传播时，假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，则这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是： 1， 20， 202， 203， … 共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是同一个常数 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; ① ② ③ 对于数列② ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; 对于数列③ ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; 一、等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示（q≠0）. . 想一想：为什么要求q≠0？ 判定下列数列是否是等比数列？如果是请指出公比。 (1) 3，6，12，24，48，……； 是,q=2 (2)2，2，2，2，……； 是, q=1 (3) 3，-3，3，-3，3，……； 是, q=-1 (4) 1，2，4，6，3，4，……； 不是 (5) 5, 0, 5, 0, ……. 不是 等比数列中不能存在为0的项。 二、等比数列的通项公式： …… 由此归纳等比数列的通项公式可得： 思考：如何用a1和q表示第n项an？ (2)1，3，9，27，81，243，… (3) 5，5，5，5，5，5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (1)2，4，8，16，32，64，... 思考：你能写出下列等比数列的通项公式吗？ (6)1，-2，4，-8，... (5)0.5,0.25,0.125,0.0625，... 例2 解 在等比数列{an}中，a4=36，a6=144，求首项a1和公比q． 根据等比数列的通项公式 an=a1qn-1可得 ① ② ②式除以①式，并整理得 解得 q=±2. 当q=2时，a1×23=36，解得 a1= 当q=-2时，a1×(-2)3=36，解得a1= 所以, a1= , q=2或 a1= , q=-2. 例3 将一张报纸反复对折,若不考虑其它因素,则报纸层数构成等比数列：2,4,8,…． (1) 求这个数列的通项公式； (2) 求第5次对折后报纸的层数； (3) 问第几次对折之后报纸的层数是128？ 解 (1) 设这个数列为 an ,则a1=2,q=4,故该等比数列的通项公式为 an=a1qn-1=2×2n-1=2n. (2) 根据通项公式可知，a5=25=32，因此第5次对折之后的报纸的层数为32层. (3) 设第n次对折后报纸的层数是128,即an＝128,则由通项公式可知 2n=128， 2n =27， 解得 n=7. 因此，第7次对折后报纸的层数是128. 分析 情境导入 例4 已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 对于构成等差数列的三个数，可以将它们设为 a1，a1q，a1q2，也可以将它们设为 ，其中q为公比.若已知这三数的积，则将它们设为 更有利于计算. 解 例4 已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 设这三个数分别为 ，则 ① 由②式得a =8 ，解得a=8 . ② 将a=8代入①式，化简得 ③ ③式两边同时乘q，整理得 2q -5q+2=0， 解得 当q= 2 时，所求的三个数分别为4,8,16； 当q= 时，所求的上数分别为16,8,4. 所以，这三个数为4,8,16或16,8,4. 三.等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列： （1）1，( ) , 9 （2）-1，( ) ，-4 （3）-12，( )，-3 （4）1，( )，1 ±3 ±2 ±6 ±1 在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 解 解得 因此， 答：这个数列的第1项与 ... ...
