压轴小题3 抽象函数问题 【2023年12月苏州市部分高中高三上联考第12题】定义在上的函数同时满足：（1）；（2），则下列结论正确的是（ ） A. B.为偶函数 C.存在，使得 D.任意，有 角度一、令结合满足条件可判定A，令结合偶函数的性质可排除B，利用累加法得结合适当放缩可判定C，构造，结合条件判定是以1为周期的周期函数，再根据绝对值不等式放缩可判定D. 角度二、直接赋值得，根据得，再令，可判定A、B，利用累加法，直接解不等式可判定C，取分类讨论可判定D. 解法一：直接法1 对于选项A：因为， 令，则，即， 又因为，即， 可知，即，解得，故A正确； 对于选项B：由选项A可得. 令，则，即， 可知，所以不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为， 当时， ， 且符合上式，所以， 令，则， 即存在，使得，故C正确； 对于选项D：令，则 即，即是以1为周期的周期函数， 因为当，则 ， 结合周期性可知对任意，均有， 所以， 故D正确；综上：选ACD. 角度二、 对于：由得， 又， 所以. 又由得， 所以对，错； 对于： 累加得： ， ， 令，得， ，所以对； 对于：取， ①当时，， ②当时，， 所以对.综上：选ACD. （2024·四川泸州·二模） 1．已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 C．函数的图象关于直线对称 D． 2．是定义在R上的函数，，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的是（ ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．的值域为 D．的实数根个数为6 构造特殊函数，由条件待定系数解得可判定A、B，直接解不等式可判定C，分类讨论解绝对值不等式可判定D. 对于：令，， ，. 因为当时，恒成立， 即恒成立， 所以，且. ，对称轴不是轴， 所以A正确，B错误； 对于：， 即符合题意，所以C正确； 对于：，即， 即. ①对于，即， 当时，上式即，显然成立， 当时，显然也成立； ②对于，即， 当时，显然恒成立， 当，上式即为，显然恒成立， 所以对.综上，选ACD. （2023·四川达州·一模） 3．函数满足，令，对任意的，都有，若，则（ ） A． B．3 C．1 D． 4．已知定义在上的函数对任意均有：且不恒为零.则下列结论正确的是 .①；②；③或；④函数为偶函数；⑤若存在实数使，则为周期函数且为其一个周期. （22-23高三上·山东潍坊·期末） 5．已知定义在上的函数满足，对，，有，则（ ） A． B． C． D． （2024·云南楚雄·模拟预测） 6．已知函数，的定义域均为，且，，，若，且，则（ ） A．305 B．302 C．300 D．400 （2023·云南·模拟预测） 7．已知定义在R上的函数，对于任意的 恒有，且，若存在正数t，使得，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．为偶函数 D．为周期函数 （2022·上海徐汇·三模） 8．已知定义在R上的函数满足，当时，．设在区间（）上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．D 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取可判断C，对于B，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【详解】对于A，令，可得，得， 令，，代入已知等式得， 可得，结合得， 所以，故A错误； 对于D，因为，令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故D正确； 对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式： ，， 两式相加易得，所以有， 即， 有， 即，所以为周期函数，且周期为， 因为，所以，所以，， 所以， 所以 ，故B错误； 对于C，取，，满足及， 所以，又， 所以函数的 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
