长郡中学高一年级选科适应性检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分_____ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） ★1．复数，（，）为实数的充要条件是（ ） A． B．且 C．且 D．且 2．点满足向量，则点与的位置关系是（ ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在直线外 ★3．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，为单位向量，，若，求与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．在中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（ ） A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 ★6．降水量是指水平地面上单位面积降雨水的深度，用上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）来测量降水量，若在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，则本次降雨的降水量为（精确到）（ ） A． B． C． D． 7．已知在中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的长度的范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） ★9．在空间中，下列命题正确的是（ ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上 D．用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台 10．下列说法中错误的是（ ） A．，为实数，若，则与共线 B．若，，则 C．两个非零向量，，若，则与垂直 D．若，，分别表示，的面积，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ） A．平面 B．若，，，四点共面，则 C．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D．若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知是虚数单位，则_____． 13．已知正四棱锥的底面边长为4，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则四棱锥的最大体积为_____． 14．在中，，，，在边上，延长到点，使得，若（为常数），则的长度是_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ★15．（本题满分13分） 已知，，． （1）求； （2）若，求向量与的夹角． 16．（本题满分15分） 在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边上的一点，，且_____，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 17．（本题满分15分） 如图，在四棱锥中，是该四棱锥的高，，，，为棱上的一点，且． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积． 18．（本题满分17分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 19．（本题满分17分） （1）对实系数的一元二次方程可以用求根公式求复数范围内的解，在复数范围解方程； （2）对一般的实系数一元三次方程（），由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡 ... ...
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