2024年山东省泰安市高考数学第一次质检试卷(含解析）

2024年山东省泰安市高考数学第一次质检试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知抛物线：，则的准线方程为( ) A. B. C. D. 2.设集合，，则( ) A. B. C. D. 3.在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为( ) A. 椭圆 B. 抛物线 C. 直线 D. 圆 4.若，则( ) A. B. C. D. 5.在同一直角坐标系中，函数，，且的图像可能是( ) A. B. C. D. 6.若非零向量，满足，且，则与方的夹角为( ) A. B. C. D. 7.已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递增区间为( ) A. B. C. ， D. ， 8.已知是双曲线：的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，，则在复平面内对应的点在第二象限 C. 若，则 D. 若，复数在复平面内对应的点为，则直线为原点斜率的取值范围为 10.下列说法中正确的是( ) A. 一组数据，、，，，，，，，的第百分位数为 B. 某中学有高中生人，初中生人，为了解学生学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，则从高中生中抽取的人数为 C. 若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，的平均数为 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 11.已知函数的定义域为，且，若，则下列说法正确的是( ) A. B. 有最大值 C. D. 函数是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.二项式的展开式中的系数为，则 _____． 13.在中，内角，、的对边分别为、、，已知，则 _____． 14.如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球、、小球材质密度，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为_____，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，，，分别是，，的中点． 求证：； 求平面与平面所成夹角的大小． 16.本小题分 某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有个红球和个黑球，乙箱子里装有个红球和个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记分，摸出一个黑球记分，得分在分以上则获奖． 求在次游戏中，获奖的概率； 求在次游戏中，得分的分布列及均值． 17.本小题分 已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． 求椭圆的方程； 若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点，的面积为，求直线的斜率． 18.本小题分 已知函数． 若，曲线在点处的切线与直线垂直，证明：； 若对任意的，且，函数，证明：函数在上存在唯一零点． 19.本小题分 已知各项均不为的递增数列的前项和为，且，，，且． 求数列的前项和； 定义首项为且公比大于的等比数列为“数列”证明： 对任意且，存在“数列”，使得成立； 当且时，不存在“数列”，使得对任意正整数成立． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：， ， 抛物线的准线方程为． 故选：． 根据抛物线的方程即可求出准线方程． 本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 2.【答案】 【解析】【分析】 化简集合，利用交集运算即可求得答案． 本题主要考查了交集的运算，属于基础题． 【解答】 解：由， ， 则， 故选：． 3.【答案】 【解析】解：设点，点，， 则，， 由可得，， 整理得，， 所以点的轨迹为圆． 故选：． 根据题意求出动点的轨迹方程即可判断． 本题主要考 ... ...