高考数学一轮课时规范练习之 解答题专项二　三角函数中的综合问题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 解答题专项二　三角函数中的综合问题 解答题专项练 1.已知函数f(x)=Asinωx+(A>0,0<ω<1),f=f,且f(x)在0,上的最大值为. (1)求f(x)的解析式; (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g=,求sin 2α的值. 2.(2023·辽宁鞍山高三期末)已知函数f(x)=a·b-1,其中a=(sin 2x,2cos x),b=(,cos x)(x∈R). (1)求f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=,b2=ac,求的值. 3.(2023·山东烟台高三期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=2sin Asin B,点D在边AB上,且CD⊥AB. (1)证明:CD=c; (2)若a2+b2=ab,求∠ACB. 4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2ccos B=2a-b. (1)求C; (2)若AB=AC,D是△ABC外的一点,且AD=2,CD=1,则当∠D为多大时,平面四边形ABCD的面积S最大,并求S的最大值. 解答题专项二　三角函数中的综合问题 解答题专项练 1.已知函数f(x)=Asinωx+(A>0,0<ω<1),f=f,且f(x)在0,上的最大值为. (1)求f(x)的解析式; (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g=,求sin 2α的值. 解:(1)因为0<ω<1,所以周期T=>2π, 又f(x)在0,上的最大值为,且f=f, 所以当x==时,f(x)取得最大值, 所以A=,且f=, 即sinω+=. 因为0<ω<1, 所以ω+, 故ω+,解得ω=, 故f(x)=sinx+. (2)由于g(x)=f(3x)=sin2x+, 又g=sinα+=, 则sinα+=, 故sin 2α=-cos2α+=2sin2α+-1=-. 2.(2023·辽宁鞍山高三期末)已知函数f(x)=a·b-1,其中a=(sin 2x,2cos x),b=(,cos x)(x∈R). (1)求f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=,b2=ac,求的值. 解:(1)f(x)=a·b-1=(sin 2x,2cos x)·(,cos x)-1=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin2x+, 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z). (2)因为f=2sin=, 所以sin=, 又B∈(0,π),∈, 所以,所以B=. 因为b2=ac,所以sin2B=sin A·sin C. 于是. 3.(2023·山东烟台高三期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=2sin Asin B,点D在边AB上,且CD⊥AB. (1)证明:CD=c; (2)若a2+b2=ab,求∠ACB. (1)证明:在△CDB中,因为CD⊥AB, 所以sin B=. 因为sin C=2sin Asin B, 所以=2sin B. 所以=2·. 在△ABC中,根据正弦定理,得, 所以=2·, 故CD=c. (2)解:在△ABC中,S△ABC=absin C=×c×CD, 又由(1)知,CD=c,所以c2=2absin C, 在△ABC中,根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C, 又由已知a2+b2=ab,得2absin C=ab-2abcos C, 所以sin C+cos C=,则sinC+=, 即sinC+=. 因为C∈(0,π),则C+∈, 所以C+或C+, 所以C=或C=, 又点D在边AB上,且CD⊥AB,CD=c, 所以∠ACD,∠BCD中必有一个大于等于, 所以C=. 4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2ccos B=2a-b. (1)求C; (2)若AB=AC,D是△ABC外的一点,且AD=2,CD=1,则当∠D为多大时,平面四边形ABCD的面积S最大,并求S的最大值. 解:(1)∵2ccos B=2a-b, ∴2sin Ccos B=2sin A-sin B. 又A=π-(B+C), ∴2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin B, 即2sin Bcos C=sin B. ∵sin B≠0,∴cos C=. ∵0