高考数学一轮课时规范练习之 解答题专项四　第1课时　利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 解答题专项四　立体几何中的综合问题 第1课时　利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离 解答题专项练 1.如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点. 求证:(1)EF∥平面A1B1BA; (2)平面AEA1⊥平面BCB1. 2.(2023·内蒙古赤峰高三开学考试)在如图所示多面体中,平面EDCF⊥平面ABCD,EDCF是面积为的矩形,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2. (1)证明:BD⊥EA; (2)求点D到平面ABFE的距离. 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E为BB1的中点. (1)求BC1到平面AD1E的距离; (2)若A1C∩平面AED1=M,求. 4.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,G为棱DD1上的动点. (1)求证:B,E,D1,F四点共面; (2)是否存在点G,使得平面GEF⊥平面BEF 若存在,求出DG的长度;若不存在,说明理由. 解答题专项四　立体几何中的综合问题 第1课时　利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离 解答题专项练 1.如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点. 求证:(1)EF∥平面A1B1BA; (2)平面AEA1⊥平面BCB1. 证明:(1)由AB=AC,E为BC的中点,则AE⊥BC,而AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1, 过E作平行于BB1的垂线为z轴,EC,EA所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB=3,BE=,所以AE=2, 所以E(0,0,0),C(,0,0),A(0,2,0),B(-,0,0),B1(-,0,2),A1(0,2,),F,1,,所以=,1,,=(-,-2,0),=(0,0,). 设平面A1B1BA的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=-2,则n=(-2,,0), 而·n=×(-2)+1××0=0, 所以⊥n. 又EF 平面A1B1BA, 所以EF∥平面A1B1BA. (2)因为EC⊥平面AEA1,则=(,0,0)为平面AEA1的一个法向量. 又EA⊥平面BCB1,则=(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量. 因为=0,故,故平面AEA1⊥平面BCB1. 2.(2023·内蒙古赤峰高三开学考试)在如图所示多面体中,平面EDCF⊥平面ABCD,EDCF是面积为的矩形,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2. (1)证明:BD⊥EA; (2)求点D到平面ABFE的距离. (1)证明:因为平面EDCF⊥平面ABCD,且平面EDCF∩平面ABCD=CD,ED⊥DC,ED 平面EDCF,所以ED⊥平面ABCD, 又BD 平面ABCD,所以ED⊥BD, 在四边形ABCD中,作DM⊥AB于M,CN⊥AB于N, 因为CD∥AB,AD=CD=CB=1,AB=2, 所以四边形ABCD为等腰梯形,则AM=BN=,所以DM=,BD=, 所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,又ED∩AD=D,ED 平面EAD,AD 平面EAD,所以BD⊥平面EAD,又因为EA 平面EAD,所以BD⊥EA. (2)解:由(1)知ED⊥平面ABCD,AD⊥BD,以点D为原点,为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,因为矩形EDCF的面积为,CD=1,所以ED=.所以A(1,0,0),B(0,,0),E(0,0,), 则=(-1,0,),=(0,-),=(0,0,), 设平面ABFE的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则可取n=(,1,1), 设点D到平面ABFE的距离为d,则d=. 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E为BB1的中点. (1)求BC1到平面AD1E的距离; (2)若A1C∩平面AED1=M,求. 解:(1)如图,以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),C1(2,2,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),A1(0,0,2), 因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,AD1 平面AD1E, 所以BC1∥平面AD1E,则BC1到平面AD1E的距离即为C1到平面AD1E的距离,而=(0,2,0),=(2,0,2),=(0,2,1), 设平面AD1E的一个法向量为n=(x,y,z),则 令y=1,则x=2,z=-2,故n=(2,1,-2), 故C1到平面AD1E的距离d=, 即BC1到平面AD1E的距离为. (2)=(2,0,0),=(0,-2,2),由题意可得. 4.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,G为棱DD1上的动点. (1)求证:B,E,D1,F四点共面; (2)是否存在点G,使得平面GEF⊥平面BEF 若存在,求出DG的长度;若不存在,说明理由. (1)证明:如图所示,连接D1E,D1F,取BB1的中点为M,连接MC ... ...