高考数学一轮课时规范练习之 解答题专项四　第2课时　求空间角（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 解答题专项四　立体几何中的综合问题 第2课时　求空间角 解答题专项练 1.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=. (1)证明:BD⊥PA; (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 2.如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AD=CD=BC=AB=AA1,E,F分别为A1D,CC1的中点. (1)证明:EF∥平面ABCD; (2)求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值. 3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,PD=AD,PD⊥平面ABCD,M为BC中点,=λ(0<λ<1). (1)求证:平面DMN⊥平面PAD; (2)当λ取何值时,二面角B-DN-M的余弦值为. 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,过点D1作出正方体ABCD-A1B1C1D1的截面,使得该截面平行于平面BEF. (1)作出该截面与正方体表面的交线,并说明理由; (2)求BD1与该截面所在平面所成角的正弦值. (截面:用一个平面去截一个几何体,平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.) 解答题专项四　立体几何中的综合问题 第2课时　求空间角 解答题专项练 1.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=. (1)证明:BD⊥PA; (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. (1)证明:∵PD⊥平面ABCD,BD 平面ABCD, ∴PD⊥BD.取AB的中点E,连接DE. ∵CD=1,BE=AB=1,CD∥BE, ∴四边形CDEB是平行四边形,∴DE=CB=1. ∵DE=AB, ∴△ABD为直角三角形,AB为斜边, ∴BD⊥AD. ∵PD 平面PAD,AD 平面PAD,且PD∩AD=D, ∴BD⊥平面PAD. 又PA 平面PAD,∴BD⊥PA. (2)解:由(1)知,PD,AD,BD两两垂直,以点D为坐标原点,DA,DB,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,其中BD=. 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,), ∴=(0,0,-),=(1,0,-),=(-1,,0). 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=,则y=z=1,则n=(,1,1). 设直线PD与平面PAB所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|=, ∴直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. 2.如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AD=CD=BC=AB=AA1,E,F分别为A1D,CC1的中点. (1)证明:EF∥平面ABCD; (2)求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值. (1)证明:取AA1的中点G,连接EG,FG,AC, 因为EG∥AD,EG 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以EG∥平面ABCD, 因为AG∥CF,AG=CF,所以四边形AGFC是平行四边形, FG∥AC,又FG 平面ABCD,AC 平面ABCD, 所以FG∥平面ABCD, 因为FG∩EG=G, 所以平面EFG∥平面ABCD, 因为EF 平面ABCD,所以EF∥平面ABCD. (2)解:设CD=BC=AA1=AB=2, 由AD=CD=BC,得∠DAB=∠ABC=60°, 易知AC⊥BC,所以AC==2, 由题意知CA,CB,CC1两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A(2,0,0),A1(2,0,4),B(0,2,0),C1(0,0,4),D(,-1,0),E,-,2, 所以=-,2,=(0,-2,4), 设平面C1EB的一个法向量为n= (x,y,z), 由取z=1,得n=,2,1, 连接BD,因为BD⊥AD,BD⊥AA1,AD∩AA1=A,所以BD⊥平面AA1D, 所以平面AA1D的一个法向量为=(-,3,0), 所以cos<,n>=, 所以平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值为. 3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,PD=AD,PD⊥平面ABCD,M为BC中点,=λ(0<λ<1). (1)求证:平面DMN⊥平面PAD; (2)当λ取何值时,二面角B-DN-M的余弦值为. (1)证明:∵底面ABCD为菱形,∠DCB=∠DAB=60°, ∴△DBC为正三角形, ∵M为BC中点,∴DM⊥BC, 又BC∥AD,∴DM⊥AD, ∵PD⊥平面ABCD,DM 平面ABCD, ∴DM⊥PD. 又PD∩AD=D,PD,AD 平面PAD, ∴DM⊥平面PAD, 又DM 平面DMN, ∴平面DMN⊥平面PAD. (2)解:由(1)知,DA,DM,DP两两垂直,以D为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2a,DM=2asin 60°=a, ... ...