3.4空间向量在立体几何中的应用 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

3.4 空间向量在立体几何中的应用 同步练习 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（ ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 2．如图，已知三棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ） A．存在点，使得直线与直线相交 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的大小为 D．平面被正方体所截得的截面面积为 4．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 5．如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 6．设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（ ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 8．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（ ） A．平面 B．三棱锥的体积与点的位置有关 C．的最小值为 D．当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形 10．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（ ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 11．如图，平面，，，，则（ ） A． B．平面 C．二面角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 12．已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（ ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 三、填空题 13．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 14．如图①是直角梯形，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为 ． 15．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点．线段上存在一点Q，使得二面角的余弦值为，则 16．已知正方体的棱长为2，M，N，G分别是棱，BC，的中点，Q是该正方体表面上的一点，且.若，则直线NQ与平面所成角的大小为 ，若x，，则的最大值为 . 四、解答题 17．如图，已知四棱锥中，平面平面，，，． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 18．如图，在四棱锥中，因为平面，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点，且 (1)求证：∥平面； (2)求二面角的大小． 19．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． (3)在（2）的条件下，求点到直线的距离. 20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. (1)求证：平面BDM； (2)若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 21．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. (1)证明：//平面BDM； (2)求平面AMB与平面BDM的夹角. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 参考答案： 1．C 【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【详解】因为， 所以， 则，所以. 故选：C. 2．B 【分析】解法一：取的中点，连接，，取的中点，连接，，找到异面直线所成角或其补角，利用面面垂 ... ...