2024年辽宁中考数学二轮专题训练 题型六 与圆有关的证明及计算(含答案)

2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型六 与圆有关的证明及计算 突破设问一　切线的判定 类型一　交点不确定，作垂直，证半径 典例精讲 例1　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D. 求证：AB是⊙D的切线． 例1题图 满分技法 当题目中未给出切点时，通常过圆心作垂线，利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径． 针对训练 1. 如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径画圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO 的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD. 求证：AB为⊙O的切线． 第1题图 类型二　交点确定，连半径，证垂直 典例精讲 例2　如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是BA延长线上的点，连接CD，已知∠ACD＝∠ABC. 求证：CD是⊙O的切线． 例2题图 满分技法 若图中有要证切线的垂线，可证明过交点的半径与这条垂线平行： 1. “角平分线”＋两半径组成的等腰三角形，利用角平分线性质及等边对等角得到的等角证得平行； 2. ①连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行． ②题干中给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证． ③常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证得垂直． 针对训练 2. 如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为点D，∠BEF＝2∠F. 求证：AC为⊙O的切线． 第2题图 3. 如图，点A为⊙O上的一点，点P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点B，且B是OP的中点，连接AB、AP，以AB、BO为邻边作菱形OBAC，点C恰好落在⊙O上． 求证：AP是⊙O的切线． 第3题图 4. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点E，连接EC交AB的延长线于点P. 求证：EC是⊙O的切线． 第4题图 突破设问二　求线段长 典例精讲 例3　如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°，若DF＝2，DC＝6，求BE的长． 例3题图 满分技法 运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直关系构造直角三角形解决问题；观察题干，若题干中含30°、45°、60°或“等腰直角三角形”、“等边三角形”等字眼，则优先考虑锐角三角函数或者勾股定理解决问题；若不含，则优先考虑相似三角形性质或勾股定理等解决问题． 针对训练 5. 如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝，求⊙O的直径． 第5题图 6.如图，在△ABC中，∠C＝45°，以AB为直径的⊙O恰好经过边 BC的中点D，E是劣弧的中点，连接OE并延长，交AC于点F.⊙O的半径为2，求EF的长. 第6题图 7. 如图，已知⊙O是以AB为斜边的Rt△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.若AE＝ED＝2，求⊙O的半径． 第7题图 突破设问三　求角度 典例精讲 例4　如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，⊙O的切线DE交BC于点E，若∠A＝35°，求∠CDE的度数． 例4题图 针对训练 8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，CD为⊙O的切线，点C是切点．AB为⊙O直径，求∠BCD的度数． 第8题图 突破设问四　证明角相等 典例精讲 例5　如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC. 求证：∠ACF＝∠B. 例5题图 针对训练 9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连接PC. 求证：∠PCA＝∠ABC. 第9题图 突破设问五　求弧长 典例精讲 例6　如图，在△ABC中，AB＝AC，O ... ...