7.1.1数系的扩充和复数的概念 导学案（含答案） 高中数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 导学案 一、教学目标 1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的概念、表示法； 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件. 二、教学重难点 1.教学重点：复数的概念理解； 2.教学难点：复数相等的理解和虚数、纯虚数的判断. 三、教学过程 1、创设情境，课题引入 探究 我们知道，方程在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 数系的扩充史： 数系扩充规则：在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 依照数集扩充的这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得. 是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary（想象的，假设的）一词的词头，. 2、获取新知，概念生成 思考 把新引进的数添加到实数集中，我们希望和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律，那么，实数系经过扩充，得到的新数系由哪些数组成呢？ 依照以上设想： ①把实数与相乘，结果记作 ②把实数与相加，结果记作 注意：所有实数以及都可写成 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 复数的概念：我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的代数形式：复数通常用字母表示，即， 以后不作特殊说明时，复数中都有， 其中把实数叫做复数的实部，把实数叫做复数的虚部. 练习1 1．说出下列复数的实部和虚部：. 注意：设复数时，一定要有，否则不能说实部为，虚部为.虚部是复数代数形式中的实数系数，不含，不能说虚部为. 变式训练： 2．求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)． 3．复数，则（ ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 复数相等：在复数集中任取两个数，我们规定： 练习2 4．求满足下列条件的实数x，y的值： （1）； （2） 变式训练： 5．设，，若复数，求，． 6．若复数，，为虚数单位，则 ． 思考 由能否推出？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 答：由不能推出 当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小.复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数. 练习3 7．复数i，求实数的值. 复数的分类：对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，它叫做虚数； 当且时，它叫做纯虚数. 练习4 8．指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？. 变式训练： 9．写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 思考：复数集与实数集之间有什么关系？ 实数集是复数集的真子集 如下： 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用韦恩图表示（如图所示）. 例1 当实数取什么值时，复数是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 变式训练： 10．当为何实数时，复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数： (4)0？ 11．已知复数．当实数取什么值时，复数是： (1)虚数； (2)纯虚数； 3、课后作业 （1）教材P73，1、2、3 （2）同步作业试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．实部分别为；虚部分别为. 【解析】根据复数的概念，复数，则为实部，为虚部，解答即可. 【详解】解：的实部分别为； 虚部分别为. 【点睛】本题考查复数的相关概念，属于基础题. 2．(1)实部为，虚部为 (2)实部为，虚部为 (3)实部为，虚部 【分析】 根据复数的实部和虚部的知识求得正确答案. 【详解】（1）的实部为，虚 ... ...