专题7.1复数的概念 同步讲练（Word含解析） 高中数学人教A版（2019）必修第二册

专题7.1 复数的概念【七大题型】 【人教A版（2019）】 【知识点1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 （1）复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a，b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. （2）复数的概念 我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. （3）复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （4）复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a，b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的分类及辨析】 【例1】（2023·高一课前预习） 1．在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习） 2．下列关于复数的说法一定正确的是（ ） A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 【变式1-2】（2023下·高一课时练习） 3．下列四种说法正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【变式1-3】（2023下·湖南长沙·高一校考阶段练习） 4．已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【题型2 根据复数的相等条件求参数】 【例2】（2023·全国·校联考模拟预测） 5．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（2023下·全国·高一专题练习） 6．已知，且，则（ ） A．1 B． C．2 D．4 【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习） 7．若，且，则 A．4或0 B．-4或0 C．2或0 D．-2或0 【变式2-3】（2023下·山西阳泉·高一统考期末） 8．已知复数，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【知识点2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 （1）复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a，b)，而有序实数对(a，b) 平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. （2）复数的几何意义———与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. （3） 复数的几何意义———与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量 ... ...