高州市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考 数学 2024.4.15 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将答案填涂到答题卡的指定位置） 1．若复数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，且，则（ ） A． B． C．5 D．4 3．设复数z满足：，那么（ ） A． B． C． D． 4．已知的内角所对的边分别为，向量，若，则角（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 6．甲船在岛B的正南方A处，千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 7．已知棱长为2的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分） 9．对于任意的平面向量下列说法错误的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 10．在正方体，点，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A． B．平面 C． D．若在正方体的棱长为2，则三棱锥的表面积为 11．在中，已知，下列结论正确是（ ） A．； B． C．一定是钝角三角形； D．若，则的面积是． 12．已知正三角形的边长为为边上两点，且为边上一点，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．与的夹角为 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 13．复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数_____． 14．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，那么原的面积是_____． 15．若向量满足，则_____ 16．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为，又利用无人机在离地面高的M处（即），观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，则山高． 17．已知的内角所对的边分别为，若，则a的最大值为_____． 18．在中，若，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（10分）已知复数，且是纯虚数． （1）求复数z； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 20．（12分）已知向量a． （1）当时，求向量与的夹角； （2）求的最大值． 21．（13分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． （3）若F为侧棱的中点，求证：平面． 22．（13分）在中，角所对的边分别是，且满足 （1）求角B； （2）如图，若外接圆半径为为的中点，且，求的周长． 23．（12分）在中，角所对的边分别为，点D满足与． （1）若，求A的值； （2）求B的最大值． 高州市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考 答案 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B D A A C ACD CD AC AD 1．解：．故选A． 2．解：根据题意，，且，则有，解可得，即，则，故．故选：C 3．解：设，由已知 由复数相等可得，故选B． 4．解：中，向量， 若，则，整理得， ；又，所以．故选：B． 5．解： ， 在方向上的投影为．故选：D． 6．解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至如图示 可知 当小时时甲、乙两船相距最近．故选：A． 7．解析：球心O在正方形中心上，设半球的半径为R，则 在中，， 解得，所以此半球的体积为．故选：A． 8．解：中，， 解得； ；由余弦定理得： ... ...
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