第2讲 中心对称、轴对称与周期性 【题型一】 中心对称性质1：几个复杂的奇函数 【典例分析】 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可. 【详解】 ， 令，则，可得是奇函数， 又， 又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立； 当且仅当，即时等号成立； 故，可得是单调增函数， 由得， 即，即对恒成立. 当时显然成立；当时，需，得， 综上可得，故选：D. 【变式演练】 1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心_____. 【答案】 【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果. 解：因为，由于 .即，.所以是的一个对称中心. 故答案为：. 2.设函数，若，满足不等式，则当时， 的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此 ,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B. 3.．已知函数，若，其中，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得 ，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案. 【详解】 解：因为， 所以 ， 令 则所以 所以，所以，其中，则. 当时 当且仅当 即 时等号成立；当时 ， 当且仅当 即 时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A. 【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称 【典例分析】 已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以 ，选B. 【变式演练】 1.函数在上的所有零点之和等于_____. 【答案】8 【详解】 分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和． 详解：零点即 ，所以 即，画出函数图像如图所示 函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点 图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8 点睛：本题考查了函数的综合应用，根据解析式画出函数图像，属于难题． 2.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 试题分析：由已知，而函数为奇函数 又函数最大值为，最小值为，且， 考点：函数的奇偶性和最值 【名师点睛】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解释要充分利用已知条件将函数变形为，则函数为奇函数，而奇函数的最值互为相反数，可得，则问题得解． 3.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围. 【详解】 由题设，令， ∴， ∴为奇函数，又，即为增函数， ∵，即， ∴，则， ∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立， ∴，即.故选：A 【题型三】 轴对称 【典例分析】 已知函数有唯一零点，则负实数（ ） A． B． C． D．或 【答案】A【解析】函数有有唯一零点，设 则函数有唯一零点，则 3e|t|-a（2t+2-t）=a2， 设∴ 为偶函数， ∵函数 有唯一零点，∴与有唯一的交点， ∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），故选A． 【变式演练】 1.已知函数在区间的值域为，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解： 在上为奇函数，图象关于原点对称，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选. 2.已知函数f（ ... ...
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